Натуральные и целые числа

Натуральные числа — это числа, которые используют при счёте предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее. Натуральный ряд образуется последовательной записью этих значений в порядке возрастания; в зависимости от соглашения он начинается с 1 или с 0. Они входят в множество целых чисел, куда также включают ноль и отрицательные числа.

Какие числа называются натуральными

Натуральным называют целое число, которое используют для обозначения количества предметов или порядкового номера. Простыми словами, если предметы можно пересчитать: один, два, три, четыре, — получившиеся числа будут натуральными.

К этой группе относят положительные целые числа:

Многоточие показывает, что последовательность продолжается без конца.

Эти значения не являются дробными или отрицательными. Они обозначают целое количество: например, 7 книг, 12 учеников, 25 страниц. При этом вопрос о принадлежности нуля к этой группе зависит от принятого в конкретном учебнике или математической области соглашения.

Примеры натуральных чисел

Примеры:

Число 1 обозначает один предмет, число 8 — восемь предметов, а число 1 000 — тысячу предметов. Все эти числа являются целыми и положительными, поэтому относятся к натуральным при любом распространённом соглашении.

Таким может быть не только небольшое число. Последовательность продолжается сколь угодно далеко: после 999 идёт 1 000, после 1 000 — 1 001 и так далее.

Какие числа не относятся к натуральным

К этой группе не относят:

• отрицательные: $-1$, $-7$, $-25$;
• дроби: $\frac{1}{2}$, $3,5$, $7,25$;
• значения с нулевой или отрицательной частью, если речь идёт о соглашении, где ряд начинается с 1;
• иррациональные, например $\sqrt{2}$ и $\pi$.

Число 0 рассматривают отдельно: одни определения включают его в эту группу, другие — нет. Поэтому при решении задачи важно учитывать, какое соглашение используется.

Входит ли 0 в натуральные числа

Одного универсального ответа, принятого во всех учебниках и разделах математики, нет. Существуют два распространённых подхода:

или

В первом случае 0 не является натуральным числом, во втором — является. Само число от этого не меняется; меняется только способ обозначения множества.

Фраза «0 - это натуральное число» верна только при соглашении, включающем ноль.

Подход, при котором последовательность начинается с 1

В школьном определении такие числа часто связывают со счётом предметов. Нельзя сказать, что в коробке находится «0 предметов» в том же смысле, в каком говорят «1 предмет» или «5 предметов». Поэтому последовательность начинают с единицы:

При таком подходе:

• 1 — первое натуральное число;
• 0 не входит в множество;
• запись $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ считается определением натурального множества.

Это соглашение особенно часто используют в элементарном школьном изложении.

Подход, при котором последовательность начинается с 0

В современной математике и некоторых областях, связанных с информатикой, это множество может включать ноль:

При таком подходе 0 — натуральное число, а последовательность начинается с нуля. Это удобно, например, при описании количества элементов в пустом наборе: в нём 0 элементов.

Поэтому утверждение «0 — натуральное число» может быть истинным или ложным в зависимости от принятого определения. Если в условии задачи соглашение не указано, следует ориентироваться на используемый учебник, курс или обозначения. Чтобы избежать неоднозначности, можно явно написать, какое определение принято.

Как устроена последовательность натуральных чисел

Последовательность записывают в порядке возрастания. При начале с единицы она выглядит так:

Если ноль включают в натуральные, запись выглядит так:

Каждое следующее число получают прибавлением единицы к предыдущему. В десятичной системе счисления для записи таких чисел используют цифры 0–9.

Первое число и порядок следования

При соглашении $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ первым натуральным числом является 1. После него следуют 2, 3, 4 и так далее.

При соглашении $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$ первым элементом считают 0. Тогда 1 является вторым натуральным числом, 2 — третьим, а 3 — четвёртым.

В любом из вариантов числа расположены в определённом порядке: каждое следующее на единицу больше предыдущего. Поэтому 8 находится после 7 и перед 9.

Почему нет последнего числа

У последовательности нет последнего элемента. Какое бы натуральное число ни было выбрано, к нему можно прибавить 1 и получить большее:

Например, после 100 000 идёт 100 001, а после 100 001 — 100 002. Значит, нельзя назвать самое большое натуральное число: для любого предложенного числа найдётся ещё большее.

Это не означает, что натуральные «не заканчиваются» из-за записи многоточия. Многоточие показывает общий принцип продолжения: к каждому числу можно прибавить единицу.

Связь натуральных и целых чисел

Натуральные числа являются частью множества целых чисел. Целые расширяют эту совокупность за счёт нуля и отрицательных чисел.

Множества N и Z

Множество натуральных чисел обозначают буквой $\mathbb{N}$, а множество целых — буквой $\mathbb{Z}$.

Если натуральные начинают с единицы, то:

а целые записывают так:

Если ноль включают в множество, запись $\mathbb{N}$ начинается с 0, но связь с $\mathbb{Z}$ остаётся той же: каждое натуральное число является целым.

Иными словами, первые образуют часть второго множества:

Знак $\subset$ означает «является подмножеством». Это значит, что все натуральные числа — целые, но не все элементы $\mathbb{Z}$ — натуральные.

Положительные, отрицательные значения и ноль

Целые числа делятся на три группы:

1. положительные: $1,2,3,\dots$;
2. отрицательные: $-1,-2,-3,\dots$;
3. ноль: $0$.

Положительные целые входят в рассматриваемую группу, если используется определение, при котором последовательность начинается с 1. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Отрицательные находятся по другую сторону от нуля на числовой прямой.

Например, из чисел $-4$, $0$, $6$ только 6 является положительным натуральным при соглашении без нуля. Число $-4$ — отрицательное, а 0 — неотрицательное. Наименьшее натуральное число при таком соглашении — 1; при включении нуля это самое маленькое натуральное число.

Основные свойства натуральных чисел

Эти значения образуют упорядоченное множество и используются в основных арифметических действиях. При выполнении действий важно учитывать, будет ли результат снова относиться к этой группе.

Сравнение и порядок

Любые два натуральных числа можно сравнить. Одно из них будет меньше другого, либо числа окажутся равными.

Для сравнения используют знаки:

• $<$ — «меньше»;
• $>$ — «больше»;
• $=$ — «равно».

Например:

В последовательности больше то число, которое расположено правее. Поэтому 14 больше 9, а 6 меньше 11.

Каждое натуральное, кроме первого в выбранном соглашении, имеет предыдущее число. Например, перед 10 стоит 9. У каждого есть следующее: после 10 идёт 11. Если последовательность начинается с 1, у единицы нет предыдущего элемента. Если она начинается с 0, таким первым элементом является 0.

Результаты арифметических действий

При сложении двух натуральных чисел результат всегда является натуральным:

При умножении результат также всегда натуральный:

Вычитание двух натуральных чисел не всегда даёт натуральное число. Если уменьшаемое не меньше вычитаемого, результат может быть натуральным:

Но в случае $4-9$ получается $-5$, а отрицательное число не является натуральным:

Деление тоже не всегда сохраняет натуральность. При делении без остатка результат может быть натуральным:

Однако при $5:2$ получается $2,5$, а дробное число не относится к натуральным. Поэтому сложение и умножение натуральных чисел всегда приводят к натуральному результату, а вычитание и деление требуют проверки.