Десятичные и периодические дроби

Бесконечные периодические десятичные дроби — это бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Выражения «бесконечная периодическая дробь» и «бесконечная периодическая десятичная дробь» близки по смыслу: второе подчёркивает, что запись выполнена в десятичной системе.

Какие бывают десятичные дроби

Десятичная дробь записывается с помощью запятой: слева от неё находится целая часть, а справа — дробная.

По длине записи различают конечные и бесконечные десятичные дроби.

Конечная десятичная дробь имеет ограниченное количество знаков после запятой:

• $0,5$;
• $2,75$;
• $13,048$.

После последнего разряда можно мысленно добавить нули, не изменяя значение:

Бесконечная десятичная дробь содержит бесконечную последовательность знаков после запятой. Она бывает:

• периодической — например, $0,3333\dots$;
• непериодической — например, $1,41421356\dots$, то есть десятичная запись числа $\sqrt{2}$.

В периодической записи повторяющиеся цифры заключают в круглые скобки или обозначают чертой сверху:

В записи $0,(3)$ повторяется один знак, а в записи $2,1(45)$ — последовательность $45$.

Как устроена такая запись

Главный элемент — повторяющийся блок. Его называют периодом дроби. Он может включать один знак или несколько знаков, которые идут в неизменном порядке.

Например:

Здесь блок $27$ снова появляется в одном и том же порядке.

Иногда повтор начинается сразу после запятой, а иногда ему предшествует неповторяющаяся часть. Её называют предпериодом.

Рассмотрим запись:

Здесь:

• целая часть — $3$;
• предпериод — $1$;
• повторяющийся блок — $42$.

Если блок начинается не сразу после запятой, это указывают отдельно:

В этом случае $08$ — предпериод, а $3$ — повторяющаяся часть.

Чистые и смешанные дроби

Чистая дробь

Чистая периодическая дробь — это запись, в которой повтор начинается сразу после запятой. Предпериода нет.

Примеры:

Такая дробь может иметь любую целую часть. Важно только, где начинается период.

Смешанная дробь

Смешанная периодическая дробь содержит предпериод: сначала идут неповторяющиеся знаки, а затем начинается период.

Примеры:

В записи $0,1(6)$:

• $1$ — предпериод;
• $6$ — повторяющийся блок.

В записи $4,08(125)$:

• $08$ — предпериод;
• $125$ — повторяющаяся часть.

Таким образом, чистая дробь не имеет предпериода, а смешанная начинается с неповторяющейся части.

Примеры записей

Важно отличать полный период от случайного совпадения нескольких соседних знаков. В записи $0,1234512345\dots$ в одном порядке снова появляется последовательность $12345$, а не отдельные элементы $1$ или $5$.

Как перевести периодическую дробь в обыкновенную

Любую периодическую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной. Для этого используют умножение на степень $10$ и вычитание.

Общий алгоритм:

1. Обозначить дробь буквой $x$.
2. Умножить равенство на ${10}^n$, чтобы одинаковые бесконечные части оказались после запятой.
3. Вычесть исходное равенство.
4. Решить уравнение и сократить результат.

Длина повторяющегося блока определяет нужный сдвиг. При наличии предпериода сначала переносят его в целую часть, а затем учитывают весь фрагмент до конца первого периода.

Перевод чистой дроби

Пример. Представим $0,(27)$ в виде обыкновенной дроби.

Решение:

В блоке $27$ два знака, поэтому умножим на $100$:

Вычтем исходное равенство:

Бесконечные части сократятся:

Тогда

Ответ:

Для одного повторяющегося знака используют $10$, для трёх — $1000$, и так далее.

Перевод смешанной дроби

Пример. Представим $1,2(34)$ в виде обыкновенной дроби.

Решение:

Сначала перенесём предпериод в целую часть:

Затем учтём один знак предпериода и два знака периода:

Вычтем первое равенство из второго:

Получим:

Следовательно,

Ответ:

Если предпериод содержит $m$ знаков, а повторяющаяся часть — $n$, используют множители ${10}^m$ и ${10}^{m+n}$. Знаменатель результата равен

Например, для предпериода из двух знаков и повторяющегося блока из трёх знаков понадобятся умножения на ${10}^2$ и ${10}^5$.

Дополнительные примеры

Пример 1. Дробь с одним повторяющимся знаком

Переведём $0,1(6)$ в обыкновенную дробь.

Решение:

Умножим на $10$:

Теперь умножим исходное равенство на $100$:

Вычтем:

Отсюда

Ответ:

Пример 2. Представить обыкновенную дробь в виде десятичной

Найдём десятичную запись дроби $\frac{5}{12}$.

Решение:

Выполним деление $5$ на $12$ в столбик:

Сначала получаем $41$ после запятой, а затем при делении снова сталкиваемся с тем же остатком. Поэтому цифра $6$ образует период.

Ответ:

Пример 3. Конечная десятичная запись

Представим $\frac{7}{8}$ в виде десятичной дроби.

Решение:

Приведём знаменатель к степени $10$:

Значит,

Ответ:

Не всякая обыкновенная дробь даёт конечную десятичную запись. Если после сокращения в разложении знаменателя на простые множители остаются только множители $2$ и $5$, запись конечная. В остальных случаях появляется бесконечный период.

Что важно запомнить

• Периодическая дробь имеет бесконечную десятичную запись.
• В ней бесконечно воспроизводится один и тот же блок.
• Неповторяющуюся часть перед блоком называют предпериодом.
• При начале периода сразу после запятой дробь называют чистой.
• При наличии предпериода дробь называют смешанной.
• Для краткой записи используют круглые скобки или черту сверху.
• Перевод в обыкновенную дробь выполняют с помощью умножения на степень $10$ и вычитания.
• Конечную запись можно продолжить нулями, но она не содержит повторяющегося ненулевого блока.