Что такое НОК и как его найти

НОК, или наименьшее общее кратное, — это наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел. Общие кратные есть у любых натуральных чисел, а НОК является самым маленьким из них; найти его можно перебором кратных или разложением чисел на простые множители.

Наименьшее общее кратное: определение и смысл

Кратным числа называют результат умножения этого числа на натуральное число. Например, числа 6, 12, 18 и 24 являются кратными 6, потому что:

• 6 · 1 = 6;
• 6 · 2 = 12;
• 6 · 3 = 18;
• 6 · 4 = 24.

Если одно число одновременно является кратным нескольких чисел, его называют общим кратным. Например, для 4 и 6 общими кратными будут 12, 24, 36 и другие числа:

• 12 делится и на 4, и на 6;
• 24 делится и на 4, и на 6;
• 36 делится и на 4, и на 6.

Наименьшее из этих чисел — 12. Значит, НОК(4, 6) = 12.

В математике НОК используют, когда нужно определить момент, в который повторяющиеся события произойдут одновременно, или привести дроби к общему знаменателю. Например, если один сигнал подаётся каждые 4 секунды, а другой — каждые 6 секунд, вместе они прозвучат через 12 секунд.

НОК не следует смешивать с НОД: при нахождении НОК ищут наименьшее общее кратное, а НОД связан с общими делителями чисел.

Основные свойства НОК

Для натуральных чисел НОК обладает несколькими важными свойствами.

1. НОК существует у любых натуральных чисел.

У двух или нескольких чисел всегда есть общие кратные: достаточно перемножить их, хотя это произведение не всегда будет наименьшим общим кратным.

2. НОК не меньше каждого из исходных чисел.

Например, НОК(8, 12) = 24, а число 24 больше и 8, и 12.

3. Порядок чисел не влияет на результат:

Поэтому НОК(5, 7) и НОК(7, 5) равны 35.

4. Если одно число делится на другое, НОК равен большему числу.

Например, 18 делится на 6, поэтому:

5. Общие кратные являются кратными НОК.

Если НОК двух чисел равен 20, то любое их общее кратное делится на 20. Например, общие кратные могут быть равны 20, 40, 60, 80 и так далее.

6. Для одинаковых чисел НОК равен этому числу:

Эти свойства помогают не только находить результат, но и проверять, насколько он правдоподобен.

Как найти НОК

Есть два основных способа, которыми можно находить НОК:

• перебрать кратные исходных чисел и выбрать первое совпадение;
• разложить числа на простые множители и собрать произведение с нужными степенями.

Перебор удобен для небольших чисел. Разложение на простые множители обычно быстрее, если числа большие или их несколько.

Перебор общих кратных

Чтобы найти НОК перебором, нужно:

1. Выписать несколько кратных одного из чисел.
2. Выписать кратные второго числа.
3. Найти первое совпадающее значение.
4. Убедиться, что оно делится на все исходные числа.

Например, для чисел 8 и 12:

• кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48;
• кратные 12: 12, 24, 36, 48.

Первое общее кратное — 24. Поэтому:

Необязательно выписывать одинаковое количество кратных. Можно последовательно проверять кратные одного числа: 8, 16, 24. Число 24 первым делится на 12, поэтому оно и будет НОК.

Перебор становится неудобным, если исходные числа большие: список кратных может получиться длинным. В таких случаях используют разложение на простые множители.

Разложение чисел на простые множители

Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11.

Чтобы найти НОК с помощью разложения на простые множители, нужно:

1. Разложить каждое число на простые множители.
2. Выписать все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном разложении.
3. Для каждого множителя выбрать наибольшую степень.
4. Перемножить выбранные множители.

Например:

В разложениях встречаются множители 2 и 3. Для двойки выбираем $2^2$, а для тройки — $3^2$, потому что эти степени наибольшие. Тогда:

Важно не складывать показатели степеней и не брать только те множители, которые встречаются в обоих разложениях. Для НОК выбирают максимальную степень каждого простого множителя.

Нахождение НОК для трёх и более чисел

Для нескольких чисел применяют тот же принцип: раскладывают все числа на простые множители и для каждого простого множителя берут наибольшую степень из всех разложений.

Например:

Встречаются множители 2, 3 и 5. Наибольшие степени:

• для 2 — $2^3$;
• для 3 — $3^1$;
• для 5 — $5^1$.

Следовательно:

Можно находить НОК и постепенно:

затем:

Такой способ особенно удобен, когда чисел несколько и не хочется выполнять одно большое разложение.

Примеры нахождения НОК

Пример для двух чисел перебором кратных

Условие. Найти НОК чисел 9 и 12.

Решение.

Выпишем кратные 9:

Выпишем кратные 12:

Первое общее число в списках — 36. Оно делится и на 9, и на 12:

Ответ:

Пример с разложением на простые множители

Условие. Найти НОК чисел 84 и 90.

Решение.

Разложим числа на простые множители:

Выбираем максимальную степень каждого простого множителя:

• $2^2$;
• $3^2$;
• $5$;
• $7$.

Перемножаем:

Ответ:

Пример для трёх чисел

Условие. Найти НОК чисел 18, 24 и 30.

Решение.

Разложим числа:

Наибольшие степени простых множителей:

• для 2 — $2^3$;
• для 3 — $3^2$;
• для 5 — $5$.

Значит:

Ответ:

Пример для простых чисел

Условие. Найти НОК чисел 7 и 11.

Решение.

Числа 7 и 11 простые и не имеют общих простых множителей. Поэтому для получения общего кратного их нужно перемножить:

Ответ:

Для двух различных простых чисел НОК равен их произведению. Если же простые числа одинаковые, например 13 и 13, НОК равен 13, а не 169.

Как проверить результат

После вычисления НОК нужно убедиться, что полученное число соответствует определению.

Проверка состоит из двух действий:

1. разделить результат на каждое исходное число;
2. убедиться, что деление выполняется без остатка и что меньшего общего кратного нет.

Например, предположим, что для чисел 12 и 18 получен результат 36. Проверим делимость:

Значит, 36 является общим кратным. Чтобы убедиться, что оно наименьшее, можно посмотреть на меньшие кратные:

• кратные 12 меньше 36: 12 и 24;
• ни 12, ни 24 не делятся на 18.

Следовательно, меньшего общего кратного нет, и:

При использовании разложения на простые множители полезно дополнительно проверить, что каждый исходный множитель входит в найденное произведение с достаточной степенью. Например, для результата

число 2 может делить его с требуемой степенью до $2^3$, число 3 — до $3^2$, а число 5 входит полностью. Это подтверждает, что результат делится на все исходные числа.

Если полученное число не делится хотя бы на одно из них, значит, при разложении или умножении допущена ошибка.