Положительные и отрицательные числа: правила и примеры для 6 класса

Положительные числа больше нуля, а отрицательные — меньше нуля; нуль не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. Эти числа описывают величины с противоположными направлениями или значениями: например, температуру выше и ниже нуля, прибыль и убыток, подъём и спуск.

Какие числа называют положительными и отрицательными

Положительные числа и их знак

Положительными называют числа, которые больше нуля:

Перед положительным числом можно поставить знак «плюс»:

Однако знак «плюс» обычно не записывают:

Поэтому запись $5$ означает то же самое, что и $+5$. Положительные числа используют, например, для обозначения температуры выше нуля, дохода, высоты над уровнем моря или движения вправо.

Отрицательные числа и знак «минус»

Отрицательными называют числа, которые меньше нуля:

Перед отрицательным числом обязательно записывают знак «минус». Он показывает, что число расположено ниже нуля или имеет значение, противоположное положительному:

• $+8$ и $-8$ — противоположные числа;
• температура $-6{}^{\circ }\text{C}$ означает 6 градусов ниже нуля;
• долг в 500 рублей можно условно обозначить числом $-500$.

Важно различать знак числа и действие вычитания. В записи $-7$ знак «минус» относится к самому числу. В выражении $10-7$ минус обозначает вычитание.

Особое положение нуля

Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом:

Он разделяет положительные и отрицательные числа. На координатной прямой нуль находится между ними и служит началом отсчёта.

Координатная прямая и расположение чисел

Нуль, единичный отрезок и направление отсчёта

Координатная прямая — это прямая, на которой выбраны:

1. начало отсчёта — точка $0$;
2. положительное направление;
3. единичный отрезок — расстояние между соседними целыми числами.

Обычно положительное направление показывают стрелкой вправо. Если единичный отрезок равен 1, то справа от нуля последовательно располагаются числа $1,2,3,\dots$, а слева — числа $-1,-2,-3,\dots$.

Расстояние от нуля до точки с координатой $1$ такое же, как расстояние от нуля до точки с координатой $-1$. Поэтому числа $1$ и $-1$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него.

Числа справа и слева от нуля

На координатной прямой:

• справа от нуля находятся положительные числа;
• слева от нуля находятся отрицательные числа;
• чем правее расположено число, тем оно больше.

Например, расположение чисел $-3$, $0$, $2$ можно представить так:

Так как $2$ находится правее $-3$, то

Координатная прямая помогает не только сравнивать числа, но и находить расстояние между ними. Например, расстояние от $-2$ до $3$ равно 5 единицам: нужно пройти от $-2$ до $0$ две единицы, а затем от $0$ до $3$ ещё три.

Противоположные числа и модуль

Что такое противоположные числа

Противоположными называют числа, которые отличаются только знаками и находятся на одинаковом расстоянии от нуля:

Сумма противоположных чисел равна нулю:

У нуля противоположное число — сам нуль:

На координатной прямой противоположные числа расположены симметрично относительно нуля.

Как находить модуль числа

Модуль числа — это расстояние от точки, соответствующей числу, до нуля на координатной прямой. Модуль не может быть отрицательным.

Модуль числа $a$ обозначают так:

Примеры:

Если число положительное или равно нулю, его модуль равен самому числу. Если число отрицательное, модуль равен противоположному положительному числу:

Модуль показывает величину числа без учёта его направления или знака.

Как сравнивать положительные и отрицательные числа

Сравнение чисел с разными знаками

Любое положительное число больше любого отрицательного:

На координатной прямой это видно по расположению: положительное число находится справа от нуля, а отрицательное — слева.

Нуль также больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного:

Сравнение положительных чисел

Положительные числа сравнивают обычным способом:

• число с большей целой частью больше;
• если целые части одинаковы, сравнивают десятичные доли;
• у дробей можно привести их к общему знаменателю.

Примеры:

потому что 8 правее 3 на координатной прямой;

потому что целые части одинаковы, а $7$ десятых больше $4$ десятых.

Сравнение отрицательных чисел

При сравнении отрицательных чисел большим будет то, которое расположено правее на координатной прямой. Поэтому из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше:

потому что число $-3$ находится ближе к нулю, чем $-8$.

Ещё один способ — сравнить противоположные положительные числа и изменить знак неравенства:

Нельзя сравнивать отрицательные числа только по цифрам без учёта знака. Хотя $8>3$, число $-8$ меньше числа $-3$.

Действия с положительными и отрицательными числами

Сложение и вычитание чисел с разными знаками

При сложении чисел с разными знаками нужно:

1. найти модули слагаемых;
2. из большего модуля вычесть меньший;
3. поставить знак числа с большим модулем.

Пример:

Модуль числа 9 больше модуля числа 4, поэтому результат отрицательный.

Другой пример:

Если модули равны, результат равен нулю:

Вычитание можно заменить сложением противоположного числа:

Например:

При вычитании отрицательного числа знак «минус» перед скобками меняется на «плюс»:

Умножение и деление чисел с положительными и отрицательными знаками

При умножении и делении сначала находят результат без знака, а затем определяют знак по правилу:

• плюс на плюс — плюс;
• минус на минус — плюс;
• плюс на минус — минус;
• минус на плюс — минус.

Иными словами, при одинаковых знаках результат положительный, а при разных — отрицательный.

Примеры:

Делить на нуль нельзя. Поэтому выражение вида

не имеет значения.

Примеры решения задач

Задача на координатную прямую

Условие. На координатной прямой отмечены точки $A(-4)$ и $B(3)$. Какая точка расположена правее? Чему равно расстояние между точками?

Решение.

Число $3$ больше числа $-4$, поэтому точка $B$ расположена правее точки $A$:

Чтобы найти расстояние между точками, складываем расстояния от $-4$ до нуля и от нуля до $3$:

Ответ: правее расположена точка $B$; расстояние между точками равно 7 единицам.

Задача об изменении температуры или другой величины

Условие. Утром температура была $-7{}^{\circ }\text{C}$, а днём повысилась на $11{}^{\circ }\text{C}$. Какой стала температура?

Решение.

Повышение температуры обозначается прибавлением положительного числа:

Ответ: днём температура стала $4{}^{\circ }\text{C}$.

Пример на сравнение и действия с отрицательными числами

Условие. Сравните числа $-12$ и $-5$, затем вычислите:

Решение.

Число $-5$ расположено правее числа $-12$, поэтому

Вычислим выражение, заменяя вычитание отрицательного числа сложением:

Сначала сложим числа $7$ и $3$:

Ответ:

Типичные ошибки

Нуль ошибочно считают положительным или отрицательным числом

В чём ошибка. Ученик записывает, что $0$ — положительное или отрицательное число.

Почему она возникает. Нуль находится рядом с числами обоих знаков, поэтому его иногда относят к одной из групп.

Как действовать правильно. Запомнить определение:

Сам нуль не больше и не меньше себя, поэтому он не относится ни к одной из этих групп.

Отрицательные числа сравнивают по цифрам без учёта знака

В чём ошибка. Делают вывод, что $-9>-2$, потому что $9>2$.

Почему она возникает. Сравнивают модули чисел, забывая о том, что отрицательные числа расположены слева от нуля.

Как действовать правильно. Сравнивать отрицательные числа на координатной прямой или по модулям. Число с меньшим модулем будет большим:

Неверно определяют знак результата при действиях

В чём ошибка. В выражении $(-4)·(-6)$ получают отрицательный результат или в выражении $8+(-11)$ получают положительное число.

Почему она возникает. Правила знаков смешивают для разных действий.

Как действовать правильно.

• Для умножения и деления одинаковые знаки дают плюс, разные — минус:

• Для сложения чисел с разными знаками сравнивают модули:

потому что модуль 11 больше модуля 8, а знак результата отрицательный.

Неправильно используют координатную прямую или единичный отрезок

В чём ошибка. Отрицательные числа размещают справа от нуля или считают расстояние между соседними отметками неравным единице.

Почему она возникает. Не учитываются направление отсчёта и выбранный единичный отрезок.

Как действовать правильно. Сначала отметить нуль, затем выбрать положительное направление и единичный отрезок. При стандартном расположении чисел положительное направление идёт вправо, а отрицательные числа располагаются слева:

Если единичный отрезок равен 1, расстояние между соседними целыми отметками также равно одной единице.