Простые и составные числа: определения, признаки и разложение на простые множители

Простое число — это натуральное число, большее 1, у которого ровно два делителя: 1 и оно само. Составное число — натуральное число, большее 1, у которого больше двух делителей; любое натуральное число, большее 1, является либо простым, либо составным, а 1 не относится ни к одной из этих групп.

Что такое простое число

Определение и основные признаки

Простое число делится без остатка только на 1 и на само себя. Поэтому на вопрос «как называется число, которое делится на 1 и на само себя?» нужно уточнить: такому условию соответствуют не только простые, но и составные числа. Отличие состоит в количестве делителей.

У него ровно два различных натуральных делителя:

1;
само простое число.

Например, 7 делится только на 1 и 7. Других натуральных делителей у него нет, поэтому оно простое.

Число 2 — единственное чётное простое число. Любое другое чётное делится не только на 1 и на себя, но и на 2, поэтому является составным.

Если значение больше 5 и оканчивается на 0 или 5, оно составное, поскольку делится на 5. Однако обратное утверждение неверно: отсутствие в конце цифр 0 и 5 ещё не означает простоту. Например, 21 не оканчивается на них, но делится на 3 и 7.

Примеры простых чисел

Первые простые числа расположены так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 .

Это лишь начало последовательности: наибольшего простого числа не существует.

Рассмотрим несколько примеров:

делители 3 — 1 и 3;
делители 11 — 1 и 11;
делители 19 — 1 и 19;
делители 23 — 1 и 23.

Число 13 также простое. Оно не делится без остатка на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 или 12. Деление без остатка возможно только на 1 и 13.

Что такое составное число

Определение и основные признаки

Составное число имеет больше двух делителей.

Иначе его можно представить в виде произведения двух или нескольких натуральных чисел, больших 1. Например:

12 = 3 \cdot 4,

поэтому 12 — составное.

У него есть хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого числа. Такой делитель называют собственным. Для 12 это 2, 3, 4 и 6.

Важные признаки составных чисел:

любое чётное число, большее 2, составное;
любое число, оканчивающееся на 0 или 5 и большее 5, составное;
если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3;
если значение делится хотя бы на одно число, кроме 1 и самого себя, оно составное.

Последний признак является определяющим. Остальные помогают быстро обнаружить составное число, но не позволяют автоматически объявить простым значение, которое им не соответствует.

Примеры составных чисел

Число 4 делится на 1, 2 и 4, поэтому оно составное:

4 = 2 \cdot 2 .

Число 15 делится на 1, 3, 5 и 15:

15 = 3 \cdot 5 .

У числа 24 восемь натуральных делителей:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 .

Оно составное, поскольку, например, делится на 2, 3, 4, 6, 8 и 12.

Некоторые значения можно сразу представить как произведение меньших чисел:

18 = 2 \cdot 9, 35 = 5 \cdot 7, 100 = 10 \cdot 10 .

Значит, все они составные.

Почему число 1 не является ни простым, ни составным

У числа 1 только один натуральный делитель — сама единица:

1 : 1 = 1 .

Для простого числа необходимы ровно два делителя: 1 и оно само. У единицы они совпадают, поэтому различный делитель только один.

Составному числу требуется больше двух делителей либо хотя бы один, отличный от 1 и него самого. У единицы таких дополнительных делителей нет.

Следовательно:

1 не является простым числом;
1 не является составным числом;
простые и составные числа начинаются с 2.

Это различие важно при разложении на простые множители: единицу обычно не включают в такую запись, поскольку она не является простым множителем.

Как проверить, является ли число простым

Проверка делителей числа

Чтобы проверить число $n$ , нужно выяснить, делится ли оно на что-либо, кроме 1 и самого себя.

Общий алгоритм:

Убедиться, что значение больше 1. Единица не является простым числом.
Проверить делимость на небольшие числа: 2, 3, 5, 7 и так далее.
Если найден делитель, проверяемое значение составное.
Если подходящих делителей нет, оно простое.

Например, проверим 29. Оно не делится на 2, потому что нечётное. Сумма цифр равна 11, поэтому деления на 3 без остатка нет. На 5 оно также не делится, так как последняя цифра не 0 и не 5. Других подходящих делителей среди небольших чисел нет. Следовательно, 29 — простое число.

Проверим 39. Сумма цифр равна:

3 + 9 = 12 .

Число 12 делится на 3, значит, 39 тоже кратно 3:

39 = 3 \cdot 13 .

Поэтому 39 — составное число.

Проверка только делителями до квадратного корня

При проверке необязательно перебирать все значения от 2 до $n - 1$ . Достаточно рассмотреть делители, не превосходящие квадратного корня из $n$ .

Причина состоит в том, что если выполняется равенство:

n = a \cdot b,

то хотя бы один из множителей $a$ или $b$ не больше $\sqrt{n}$ . Иначе оба были бы больше $\sqrt{n}$ , а их произведение превысило бы $n$ .

Поэтому для проверки простоты $n$ достаточно проверить делимость на простые числа, не превышающие $\sqrt{n}$ . Если ни одно из них не делит $n$ , то оно простое.

Например, для 97:

\sqrt{97} \approx 9, 85 .

Достаточно проверить делимость на 2, 3, 5 и 7. Число 97:

не делится на 2, так как нечётное;
не делится на 3, так как сумма цифр равна 16;
не делится на 5, так как не оканчивается на 0 или 5;
не делится на 7, поскольку $7 \cdot 13 = 91$ , а $7 \cdot 14 = 98$ .

Следовательно, 97 — простое число.

Для 91:

\sqrt{91} \approx 9, 54 .

Нужно проверить делители 2, 3, 5 и 7. Обнаруживается, что:

91 = 7 \cdot 13 .

Значит, 91 — составное число.

Примеры проверки простоты числа

Проверим 47. Имеем:

\sqrt{47} \approx 6, 86 .

Достаточно рассмотреть простые делители 2, 3 и 5:

47 не делится на 2;
$4 + 7 = 11$ , поэтому 47 не делится на 3;
последняя цифра не 0 и не 5, поэтому деления на 5 без остатка нет.

Других простых чисел, не превосходящих $\sqrt{47}$ , нет. Следовательно, 47 — простое число.

Теперь проверим 77:

\sqrt{77} \approx 8, 77 .

Нужно проверить 2, 3, 5 и 7. Значение 77 делится на 7:

77 = 7 \cdot 11 .

Значит, оно составное.

Рассмотрим 121:

\sqrt{121} = 11 .

Проверка заканчивается на 11, поскольку:

121 = 11 \cdot 11 .

Следовательно, 121 — составное число.

Разложение составного числа на простые множители

Алгоритм разложения

Разложить составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел.

Для этого удобно использовать такой алгоритм:

Проверить делимость на наименьшее простое число 2.
Если деление на 2 выполняется без остатка, найти частное и снова проверить его делимость на 2.
Когда это станет невозможно, перейти к 3, затем к 5, 7 и другим простым числам.
Продолжать процесс, пока частное не станет равно 1.
Записать найденные простые числа в виде произведения.

Например, разложим 84:

84 : 2 = 42,

42 : 2 = 21,

21 : 3 = 7,

7 : 7 = 1 .

Получаем:

84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 .

Если на очередном шаге получено простое частное, его также нужно включить в итоговую запись. Например:

30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5 .

Число 5 простое, поэтому:

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 .

Примеры разложения

Разложим 180 на простые множители:

180 : 2 = 90,

90 : 2 = 45,

45 : 3 = 15,

15 : 3 = 5,

5 : 5 = 1 .

Следовательно,

180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 .

Проверка:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180 .

Разложим 252:

252 : 2 = 126,

126 : 2 = 63,

63 : 3 = 21,

21 : 3 = 7,

7 : 7 = 1 .

Получаем:

252 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 .

Разложим 315. Оно не делится на 2, но делится на 3, поскольку сумма цифр равна 9:

315 : 3 = 105,

105 : 3 = 35,

35 : 5 = 7,

7 : 7 = 1 .

Поэтому:

315 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 .

Порядок простых сомножителей можно менять, поскольку от их перестановки произведение не изменяется:

2 \cdot 3 \cdot 5 = 3 \cdot 5 \cdot 2 .

Запись одинаковых множителей в виде степени

Если один и тот же множитель повторяется несколько раз, его можно записать с помощью степени.

Степень показывает, сколько раз значение умножается само на себя:

a^{n} = \underset{n множителей}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}} .

Например:

2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3},

3 \cdot 3 = 3^{2} .

Поэтому результат для 180 можно записать короче:

180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 .

Для 252 запись имеет вид:

252 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7 .

А для 315 получаем:

315 = 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 .

Такая форма называется каноническим разложением на простые множители. Простые числа в ней обычно располагают по возрастанию.

Как связаны простые и составные числа с разложением на множители

Составное число можно представить в виде произведения двух меньших натуральных чисел. Если среди полученных значений есть составные, работу продолжают.

Например:

72 = 8 \cdot 9 .

Числа 8 и 9 составные:

8 = 2 \cdot 2 \cdot 2, 9 = 3 \cdot 3 .

После замены получаем:

72 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) = 2^{3} \cdot 3^{2} .

В результате остаются только простые множители.

Любое составное число можно разложить на простые множители. Итог будет одним и тем же независимо от порядка выполнения делений. Например:

60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5,

а также:

60 = 3 \cdot 20 = 3 \cdot 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 .

Сомножители расположены по-разному, но их набор одинаков. Это означает, что такое представление единственно с точностью до порядка.

Простые числа в этом процессе выступают «конечными элементами»: их уже нельзя представить в виде произведения меньших натуральных чисел, больших 1.

Таблица простых чисел до 1000

Диапазон	Простые числа
1–100	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
101–200	101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
201–300	211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293
301–400	307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397
401–500	401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499
501–600	503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599
601–700	601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691
701–800	701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797
801–900	809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887
901–1000	907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Типичные ошибки при определении чисел и разложении

Ошибка с числом 1

В чём ошибка. Число 1 иногда называют простым, потому что оно делится на 1 и на само себя.

Почему она возникает. В этом случае оба выражения обозначают один и тот же делитель. У единицы он только один, а у простого числа их должно быть ровно два.

Как действовать правильно. Сначала посчитать количество различных делителей:

один делитель — число 1;
два — простое число;
больше двух — составное число.

Незавершённое разложение

В чём ошибка. Процесс заканчивают на составном множителе. Например:

72 = 8 \cdot 9 .

Такая запись показывает произведение множителей, но ещё не является разложением на простые множители, поскольку 8 и 9 — составные числа.

Почему она возникает. Деление прекращают после первого удачного представления в виде произведения.

Как действовать правильно. Продолжать делить каждый составной множитель:

72 = 8 \cdot 9 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) = 2^{3} \cdot 3^{2} .

В окончательной записи должны остаться только простые числа.

Пропуск или повторная запись множителей

В чём ошибка. При последовательном делении забывают один из найденных множителей или записывают его лишний раз. Например, для 60 можно ошибочно получить $2 \cdot 3 \cdot 5$ , хотя это произведение равно 30, а не 60.

Почему она возникает. Каждый найденный сомножитель нужно учитывать отдельно. Если деление на одно и то же простое число выполняется несколько раз, оно столько же раз входит в произведение.

Как действовать правильно. Фиксировать каждый шаг:

60 : 2 = 30,

30 : 2 = 15,

15 : 3 = 5,

5 : 5 = 1 .

Значит:

60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 .

После этого полезно выполнить обратную проверку умножением:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60 .

Если результат не совпал с исходным значением, один из множителей пропущен или добавлен.

Что такое простое число

Определение и основные признаки

Примеры простых чисел

Что такое составное число

Определение и основные признаки

Примеры составных чисел

Почему число 1 не является ни простым, ни составным

Как проверить, является ли число простым

Проверка делителей числа

Проверка только делителями до квадратного корня

Примеры проверки простоты числа

Разложение составного числа на простые множители

Алгоритм разложения

Примеры разложения

Запись одинаковых множителей в виде степени

Как связаны простые и составные числа с разложением на множители

Таблица простых чисел до 1000

Типичные ошибки при определении чисел и разложении

Ошибка с числом 1

Незавершённое разложение

Пропуск или повторная запись множителей

Материалы по теме