Что такое взаимно обратные числа

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1. Каждое из них является обратным для другого: например, числа 3 и $\frac{1}{3}$ взаимно обратны, потому что $3·\frac{1}{3}=1$.

Что такое взаимно обратные числа в математике

Взаимно обратными, или взаимообратными, называют два числа, произведение которых равно единице:

Если число $a$ не равно нулю, то обратным ему будет число

Например:

поэтому 5 и $\frac{1}{5}$ — взаимно обратные числа.

Другие примеры:

Взаимно обратные числа не следует путать с противоположными. Противоположные числа имеют одинаковые модули и разные знаки, а их сумма равна нулю. Например, 7 и −7 — противоположные:

Их произведение равно −49, а не 1, поэтому взаимно обратными они не являются. Числа 2 и $\frac{1}{2}$, напротив, имеют одинаковый знак и при умножении дают единицу.

Как найти число, обратное данному

Чтобы найти число, обратное ненулевому числу, нужно представить единицу как дробь с этим числом в знаменателе:

Для дроби достаточно поменять местами числитель и знаменатель:

если $a\ne 0$ и $b\ne 0$. Полученный результат проверяют умножением исходного числа на найденное: произведение должно быть равно 1.

Обратное число для натурального числа

Натуральное число можно записать в виде дроби со знаменателем 1:

После перестановки числителя и знаменателя получаем:

Значит, число, обратное 7, — это $\frac{1}{7}$:

В общем виде обратное число для натурального числа $n$, не равного нулю, имеет вид:

Обратное число для обыкновенной дроби

Чтобы найти число, обратное обыкновенной дроби, нужно поменять местами её числитель и знаменатель.

Например, для дроби $\frac{3}{8}$ обратным будет число $\frac{8}{3}$:

Если дробь отрицательная, знак сохраняется:

Проверка:

Нельзя находить обратное число, если числитель исходной дроби равен нулю. Например, для дроби $\frac{0}{9}=0$ обратного числа не существует.

Обратное число для смешанного числа

Смешанное число сначала нужно перевести в неправильную дробь, а затем поменять местами числитель и знаменатель.

Рассмотрим число:

Переведём его в неправильную дробь:

Теперь меняем местами числитель и знаменатель:

Следовательно, числу $2\frac{1}{3}$ обратно число $\frac{3}{7}$:

Нельзя просто поменять местами целую и дробную части смешанного числа. Например, запись $2\frac{1}{3}$ не превращается в $\frac{1}{2}$. Сначала смешанное число обязательно преобразуют в неправильную дробь.

Обратное число для десятичной дроби

Десятичную дробь можно представить как обыкновенную, а затем найти обратную ей дробь.

Например:

Обратным числом будет:

Проверка:

Для десятичной дроби, равной целому числу, действует тот же принцип. Например:

поэтому обратное число равно 4:

Отрицательная десятичная дробь сохраняет знак при нахождении обратного числа:

Свойства взаимно обратных чисел

Главное свойство состоит в том, что произведение двух взаимно обратных чисел равно 1:

Каждому ненулевому числу соответствует только одно обратное число. Например, для числа 6 обратным является $\frac{1}{6}$. Если предположить, что у него есть другое обратное число $x$, то должно выполняться:

Отсюда однозначно следует:

Числа 1 и −1 обратны сами себе. Действительно:

а также

Поэтому обратное число для 1 — это 1, а обратное число для −1 — это −1.

Можно ли найти обратное число для нуля

У нуля нет обратного числа. Чтобы число $x$ было обратным нулю, должно выполняться условие:

Но при умножении нуля на любое число получается ноль:

Получить единицу невозможно. Поэтому выражение $\frac{1}{0}$ не имеет значения, а число 0 не входит в множество чисел, для которых можно найти обратное число.

Как проверить, являются ли два числа взаимно обратными

Чтобы проверить два числа, нужно перемножить их. Если результат равен 1, числа взаимно обратны. Если результат отличается от 1, они не являются взаимообратными.

Пример 1. Проверим числа $\frac{4}{9}$ и $\frac{9}{4}$:

Следовательно, эти числа взаимно обратны.

Пример 2. Проверим числа 0,2 и 5:

Значит, 0,2 и 5 — взаимно обратные числа.

Пример 3. Проверим числа 3 и −3:

Произведение не равно 1, поэтому эти числа не являются взаимно обратными. Они противоположны друг другу.

Пример 4. Проверим числа $2\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{5}$:

поэтому

Числа взаимно обратны.

При проверке чаще всего встречаются следующие ошибки:

• смешанное число пытаются «перевернуть» сразу, не переводя его в неправильную дробь;
• считают, что у нуля есть обратное число;
• путают взаимно обратные числа с противоположными;
• меняют местами числитель и знаменатель, но не проверяют результат умножением.

Надёжный алгоритм прост: убедиться, что оба числа определены, перемножить их и сравнить результат с единицей.