Порядок арифметических действий — это правило выполнения действий, которое задаёт приоритет действий в числовом выражении, то есть в записи из чисел, знаков действий и, возможно, скобок: сначала вычисляют выражения в скобках, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание, а действия одной ступени выполняют слева направо. Скобки — парные знаки, выделяющие часть выражения для вычисления в первую очередь; умножение — нахождение произведения, деление — обратное ему действие нахождения частного, сложение — нахождение суммы, вычитание — обратное ему действие нахождения разности. Таким образом, скобки меняют обычную последовательность вычислений, приоритет определяет, какая ступень идёт раньше, а направление слева направо решает, в каком порядке выполнять равноправные действия.
Что такое порядок действий в математике
Одна и та же запись из чисел и знаков может дать разные результаты, если считать её по-разному. Выражение 2 + 3 · 4 при вычислении «как читается» даёт 20, а по правилу — 14. Порядок действий устраняет эту неоднозначность: любое числовое выражение имеет единственное значение, и все, кто его вычисляет, получают одинаковый ответ.
Четыре арифметических действия делят на две ступени:
- действия первой ступени — сложение и вычитание;
- действия второй ступени — умножение и деление.
Действия второй ступени имеют более высокий приоритет, то есть выполняются раньше действий первой ступени. Внутри одной ступени ни одно действие не главнее другого: их выполняют в том порядке, в каком они записаны слева направо. Скобки стоят над этой иерархией: всё, что заключено в скобки, вычисляют прежде остального.
Порядок действий в выражениях без скобок
Если скобок нет, последовательность вычислений зависит только от того, какие действия входят в выражение. Возможны три случая: только действия первой ступени, только действия второй ступени или их сочетание.
Сложение и вычитание: выполнение слева направо
Сложение не выполняется раньше вычитания, и наоборот. Если в выражении есть только эти действия, их выполняют по очереди слева направо.
Пример: 20 − 8 + 5.
- 20 − 8 = 12.
- 12 + 5 = 17.
Ответ: 17.
Если сначала выполнить сложение, получится 20 − 13 = 7, и это неверно. Ошибка возникает потому, что вычитание относится только к числу 8, а не к сумме 8 + 5. Поэтому на вопрос, что делать сначала, сложение или вычитание, ответ один: то действие, которое стоит левее.
Умножение и деление: выполнение слева направо
Тот же принцип действует для второй ступени. Умножение и деление равноправны, и сначала выполняют то из них, которое записано первым.
Пример: 24 : 4 · 2.
- 24 : 4 = 6.
- 6 · 2 = 12.
Ответ: 12.
Если сначала умножить, получится 24 : 8 = 3, что неверно: на 2 умножается частное 24 : 4, а не делитель.
Правило распространяется и на цепочки одинаковых действий. В выражении 36 : 6 : 3 сначала 36 : 6 = 6, затем 6 : 3 = 2. Вычисление справа налево дало бы 36 : 2 = 18. Так что вопрос «сначала умножение или деление» решается положением знака в записи, а не названием действия.
Если в выражении есть действия разных ступеней
Когда в выражении встречаются и умножение с делением, и сложение с вычитанием, сначала слева направо выполняют все действия второй ступени, а затем слева направо все действия первой ступени.
Пример: 15 + 6 · 4 − 18 : 3.
- 6 · 4 = 24.
- 18 : 3 = 6.
- Выражение принимает вид 15 + 24 − 6.
- 15 + 24 = 39.
- 39 − 6 = 33.
Ответ: 33.
Произведения и частные удобно воспринимать как отдельные «блоки»: пока они не вычислены, складывать и вычитать нечего, потому что слагаемыми здесь являются 15, 24 и 6, а не 15, 6 и 18.
Порядок действий в выражениях со скобками
Скобки показывают, что заключённую в них часть нужно вычислить раньше, даже если в ней стоит действие низшей ступени. Внутри скобок действуют те же правила, что и в выражении без скобок.
Одна пара скобок
Сравним два выражения:
- 15 + 6 · 4 = 15 + 24 = 39;
- (15 + 6) · 4 = 21 · 4 = 84.
Числа и знаки одинаковые, но скобки заставляют сначала выполнить сложение, и результат меняется.
Ещё пример: 48 : (8 − 2). Сначала вычисляют скобку: 8 − 2 = 6, затем 48 : 6 = 8. Без скобок выражение 48 : 8 − 2 равнялось бы 6 − 2 = 4.
Несколько и вложенные скобки
Если в выражении несколько независимых пар скобок, каждую вычисляют отдельно, обычно слева направо, а затем выполняют оставшиеся действия.
Пример: (20 − 4) : (3 + 1) = 16 : 4 = 4.
Вложенные скобки — это скобки внутри других скобок. Вычисление начинают с самых внутренних и двигаются наружу. Для наглядности внешние скобки иногда записывают квадратными, но смысл у них тот же.
Пример: 100 − (5 + 3 · (12 − 8)) · 2.
- Самая внутренняя скобка: 12 − 8 = 4.
- Внешняя скобка принимает вид 5 + 3 · 4. Внутри неё сначала умножение: 3 · 4 = 12, затем 5 + 12 = 17.
- Выражение принимает вид 100 − 17 · 2.
- 17 · 2 = 34.
- 100 − 34 = 66.
Ответ: 66.
Универсальный алгоритм вычисления числового выражения
Любое выражение из четырёх арифметических действий и скобок вычисляется по трём шагам. Перед началом можно надписать над знаками номера действий: это помогает не пропустить ни одно из них и не нарушить последовательность.
Найти скобки и вычислить выражения внутри них
Просмотрите выражение и найдите все скобки. Если есть вложенные, начните с самых внутренних. Каждое выражение в скобках вычисляйте по тем же правилам, то есть с учётом приоритета ступеней и направления слева направо. Вычисленную скобку замените её значением.
Дробная черта работает как скобки: числитель и знаменатель вычисляют отдельно, а затем делят один на другой.
Выполнить умножение и деление слева направо
Когда скобок не осталось, пройдите по выражению слева направо и выполните все умножения и деления в порядке их записи. Каждое произведение или частное замените результатом.
Выполнить сложение и вычитание слева направо
В выражении остались только сложение и вычитание. Выполните их по порядку слева направо. Полученное число и есть значение выражения.
Примеры применения правила
Пример с умножением, делением, сложением и вычитанием
Условие: найти значение выражения 50 − 36 : 4 · 3 + 7 · 2.
Решение:
- Скобок нет, поэтому начинаем со второй ступени слева направо.
- 36 : 4 = 9.
- 9 · 3 = 27, поскольку умножение на 3 относится к частному 36 : 4.
- 7 · 2 = 14.
- Выражение принимает вид 50 − 27 + 14.
- 50 − 27 = 23.
- 23 + 14 = 37.
Ответ: 37.
Пример с действиями одной ступени
Условие: найти значения выражений 90 : 3 · 2 : 5 и 45 − 17 + 8 − 6.
Решение для первого выражения, где есть только вторая ступень:
- 90 : 3 = 30.
- 30 · 2 = 60.
- 60 : 5 = 12.
Решение для второго выражения, где есть только первая ступень:
- 45 − 17 = 28.
- 28 + 8 = 36.
- 36 − 6 = 30.
Ответ: 12; 30.
Пример со скобками
Условие: найти значение выражения (64 − 28) : (2 + 7) + 3 · (10 − 4 · 2).
Решение:
- Первая скобка: 64 − 28 = 36.
- Вторая скобка: 2 + 7 = 9.
- Третья скобка содержит действия разных ступеней: 4 · 2 = 8, затем 10 − 8 = 2.
- Выражение принимает вид 36 : 9 + 3 · 2.
- 36 : 9 = 4.
- 3 · 2 = 6.
- 4 + 6 = 10.
Ответ: 10.
Типичные ошибки при вычислении выражений
Выполнение всех действий строго слева направо
В чём ошибка: выражение 8 + 2 · 5 вычисляют как 10 · 5 = 50.
Почему возникает: срабатывает привычка читать запись подряд, без учёта ступеней.
Как правильно: сначала умножение, затем сложение: 2 · 5 = 10, 8 + 10 = 18. Направление слева направо применяется только к действиям одной ступени.
Уверенность, что умножение всегда выполняется раньше деления
В чём ошибка: выражение 60 : 5 · 2 вычисляют как 60 : 10 = 6.
Почему возникает: в формулировке правила умножение обычно называют раньше деления, и это принимают за порядок выполнения.
Как правильно: умножение и деление равноправны, выполняется то, что стоит левее: 60 : 5 = 12, 12 · 2 = 24. Проверить себя помогает замена деления умножением на обратное число: 60 · 1/5 · 2 = 24, и при такой записи порядок множителей уже не влияет на результат.
Уверенность, что сложение всегда выполняется раньше вычитания
В чём ошибка: выражение 30 − 10 + 5 вычисляют как 30 − 15 = 15.
Почему возникает: ошибку подкрепляет та же логика перечисления, что и в предыдущем случае, а также привычка сначала «собрать» числа справа.
Как правильно: 30 − 10 = 20, 20 + 5 = 25. Вычитаемым здесь является только 10. Если представить вычитание как прибавление противоположного числа, 30 + (−10) + 5, становится видно, что знак «минус» принадлежит одному числу.
Игнорирование или потеря скобок
В чём ошибка: при переписывании выражения (12 − 4) · 3 скобки пропадают, и получается 12 − 4 · 3 = 0 вместо 8 · 3 = 24. Другой вариант: выражение 20 − (8 − 3) раскрывают как 20 − 8 − 3 = 9.
Почему возникает: скобки воспринимают как необязательное оформление или раскрывают их механически, не учитывая знак перед ними.
Как правильно: сначала вычислить скобку и только затем продолжать. В первом случае 12 − 4 = 8, 8 · 3 = 24. Во втором 8 − 3 = 5, 20 − 5 = 15. Если скобку всё же нужно раскрыть, при минусе перед ней знаки внутри меняются на противоположные: 20 − 8 + 3 = 15.