Формула разности квадратов: как разложить выражение на множители

Разность квадратов — это выражение вида $a^{2} - b^{2}$ , в котором из квадрата одного выражения вычитается квадрат другого, а квадрат выражения — это произведение выражения на само себя: $a^{2} = a \cdot a$ . Формула разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ относится к формулам сокращённого умножения, то есть к готовым тождествам для быстрого преобразования многочленов, и утверждает, что разность квадратов равна произведению суммы и разности: произведению суммы двух выражений $a + b$ (результата их сложения) на разность двух выражений $a - b$ (результата вычитания второго из первого). Если читать равенство слева направо, оно выполняет разложение на множители, то есть записывает выражение в виде произведения. Справа налево оно позволяет раскрыть скобки без почленного умножения.

Формула разности квадратов и её вывод

Равенство $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ проверяется прямым умножением правой части. Каждый член первой скобки умножается на каждый член второй:

(a - b) (a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^{2} + a b - a b - b^{2} = a^{2} - b^{2} .

Средние слагаемые $a b$ и $- a b$ взаимно уничтожаются, поэтому остаются только квадраты. В этом и состоит «сокращение»: из четырёх произведений в ответе сохраняются два.

Вывод не опирается на конкретные значения $a$ и $b$ , поэтому равенство является тождеством. Оно верно для любых чисел, переменных и целых выражений: вместо $a$ можно подставить $3 x$ , вместо $b$ можно подставить $y + 1$ , и формула останется справедливой.

Тождество работает в обе стороны:

слева направо: $a^{2} - b^{2} \to (a - b) (a + b)$ , разложение на множители;
справа налево: $(a - b) (a + b) \to a^{2} - b^{2}$ , раскрытие скобок.

Порядок множителей роли не играет, так как умножение переместительно: $(a + b) (a - b)$ даёт тот же результат.

Как распознать разность квадратов

Выражение подходит под формулу, если выполнены три условия:

В нём ровно два слагаемых.
Каждое из них можно записать как квадрат некоторого выражения.
Квадраты соединены знаком минус, то есть один вычитается из другого.

Главная задача при распознавании — найти $a$ и $b$ , то есть выражения, которые возводятся в квадрат.

Для чисел это квадратные корни: $49 = 7^{2}$ , $0, 25 = 0, 5^{2}$ , $\frac{1}{9} = {(\frac{1}{3})}^{2}$ .

Для переменных с чётными показателями степень делится пополам: $y^{6} = (y^{3})^{2}$ , $m^{4} = (m^{2})^{2}$ .

Если в одночлене есть коэффициент, квадратом должен быть и он, и каждая степень переменной: $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ , $16 a^{4} b^{2} = (4 a^{2} b)^{2}$ .

Составное выражение в скобках тоже может играть роль $a$ или $b$ : в $(x + 1)^{2} - 4$ получаем $a = x + 1$ , $b = 2$ .

Выражение	$a$	$b$
$x^{2} - 49$	$x$	$7$
$9 x^{2} - 0, 25$	$3 x$	$0, 5$
$16 a^{4} b^{2} - y^{6}$	$4 a^{2} b$	$y^{3}$
$(x + 1)^{2} - 4$	$x + 1$	$2$
$- c^{2} + 25$	$5$	$c$

Последняя строка показывает, что уменьшаемое не обязано стоять первым. Запись $- c^{2} + 25$ равна $25 - c^{2}$ , поэтому $a = 5$ , $b = c$ .

Как применять формулу

Разложение выражения на множители

Чтобы разложить разность квадратов, нужно определить $a$ и $b$ , а затем записать произведение $(a - b) (a + b)$ .

Пример 1. Разложить $x^{2} - 25$ .

Решение: $x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2}$ , значит, $a = x$ , $b = 5$ .

Ответ: $(x - 5) (x + 5)$ .

Пример 2. Разложить $4 m^{2} - 81$ .

Решение: $4 m^{2} = (2 m)^{2}$ , $81 = 9^{2}$ .

Ответ: $(2 m - 9) (2 m + 9)$ .

Пример 3. Разложить $0, 01 p^{4} - q^{2}$ .

Решение: $0, 01 p^{4} = (0, 1 p^{2})^{2}$ , второй квадрат равен $q^{2}$ .

Ответ: $(0, 1 p^{2} - q) (0, 1 p^{2} + q)$ .

Пример 4. Разложить $(x + 3)^{2} - 16$ .

Решение: $a = x + 3$ , $b = 4$ . Подставляем в формулу:

(x + 3 - 4) (x + 3 + 4) = (x - 1) (x + 7) .

Ответ: $(x - 1) (x + 7)$ .

Пример 5. Разложить $(2 a - 1)^{2} - (a + 2)^{2}$ .

Решение: здесь оба выражения составные, поэтому каждое берём в скобки целиком:

((2 a - 1) - (a + 2)) ((2 a - 1) + (a + 2)) .

В первой скобке минус перед $(a + 2)$ меняет знаки обоих слагаемых: $2 a - 1 - a - 2 = a - 3$ . Во второй скобке получаем $2 a - 1 + a + 2 = 3 a + 1$ .

Ответ: $(a - 3) (3 a + 1)$ .

Пример 6. Разложить $x^{4} - 16$ .

Решение: $x^{4} - 16 = (x^{2})^{2} - 4^{2} = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4)$ . Первый множитель снова является разностью квадратов: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Второй множитель $x^{2} + 4$ — сумма квадратов, к ней формула не применяется.

Ответ: $(x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)$ .

Формулу иногда приходится применять повторно, пока среди множителей остаются разности квадратов.

Раскрытие произведения суммы и разности

При обратном преобразовании нужно убедиться, что в скобках стоят одни и те же два выражения: в одной скобке они складываются, в другой вычитаются. Тогда результат сразу записывается как квадрат первого минус квадрат второго.

Пример 1. Раскрыть скобки: $(3 x - 2) (3 x + 2)$ .

Решение: $a = 3 x$ , $b = 2$ , поэтому произведение равно $(3 x)^{2} - 2^{2}$ .

Ответ: $9 x^{2} - 4$ .

Пример 2. Раскрыть скобки: $(5 + y^{2}) (y^{2} - 5)$ .

Решение: в скобке с минусом первым стоит $y^{2}$ , а вычитается $5$ . Значит, $a = y^{2}$ , $b = 5$ : переставим слагаемые первой скобки, $(y^{2} + 5) (y^{2} - 5) = (y^{2})^{2} - 5^{2}$ .

Ответ: $y^{4} - 25$ .

Пример 3. Раскрыть скобки: $(- n - m) (m - n)$ .

Решение: вынесем минус из первой скобки: $- n - m = - (m + n)$ . Тогда

(- n - m) (m - n) = - (m + n) (m - n) = - (m^{2} - n^{2}) = n^{2} - m^{2} .

Ответ: $n^{2} - m^{2}$ .

Во всех случаях $a$ — выражение, которое в обеих скобках стоит с одним и тем же знаком, а $b$ — выражение, знак которого в скобках различается.

Вычисления и решение уравнений

Формула упрощает устный счёт, если множители удобно представить как сумму и разность круглого числа и небольшой добавки.

Пример 1. Вычислить $53 \cdot 47$ .

Решение: $53 = 50 + 3$ , $47 = 50 - 3$ . Тогда $53 \cdot 47 = 50^{2} - 3^{2} = 2500 - 9$ .

Ответ: $2491$ .

Пример 2. Вычислить $1, 9 \cdot 2, 1$ .

Решение: $(2 - 0, 1) (2 + 0, 1) = 4 - 0, 01$ .

Ответ: $3, 99$ .

Пример 3. Вычислить $102^{2} - 98^{2}$ .

Решение: вместо возведения в квадрат раскладываем: $(102 - 98) (102 + 98) = 4 \cdot 200$ .

Ответ: $800$ .

В уравнениях разложение на множители позволяет воспользоваться правилом: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример 4. Решить уравнение $x^{2} - 49 = 0$ .

Решение: $(x - 7) (x + 7) = 0$ , откуда $x - 7 = 0$ или $x + 7 = 0$ .

Ответ: $x = 7$ или $x = - 7$ .

Пример 5. Решить уравнение $(x - 2)^{2} - 9 = 0$ .

Решение: $a = x - 2$ , $b = 3$ :

(x - 2 - 3) (x - 2 + 3) = (x - 5) (x + 1) = 0 .

Получаем $x = 5$ или $x = - 1$ . Проверка: $(5 - 2)^{2} = 9$ и $(- 1 - 2)^{2} = 9$ .

Ответ: $x = 5$ или $x = - 1$ .

Пример 6. Решить уравнение $4 x^{2} = 25$ .

Решение: переносим всё в левую часть: $4 x^{2} - 25 = 0$ , то есть $(2 x - 5) (2 x + 5) = 0$ .

Ответ: $x = 2, 5$ или $x = - 2, 5$ .

Тот же приём помогает сокращать дроби. Например, $\frac{x^{2} - 9}{x + 3} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{x + 3} = x - 3$ . Сокращение допустимо только при $x \neq - 3$ , так как при этом значении знаменатель исходной дроби равен нулю.

Типичные ошибки

Ошибка 1: $a^{2} - b^{2}$ путают с $(a - b)^{2}$ .

Почему возникает: в обеих записях есть разность и квадрат, но в первой квадраты вычитаются, а во второй в квадрат возводится сама разность.

Как правильно: это разные выражения. Квадрат разности раскрывается так: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ . При $a = 5$ , $b = 3$ получаем $a^{2} - b^{2} = 25 - 9 = 16$ , но $(a - b)^{2} = 2^{2} = 4$ .

Ошибка 2: путают уменьшаемое и вычитаемое.

Почему возникает: множители записывают механически, не проверяя, какой квадрат стоит с минусом. Например, $16 - x^{2}$ ошибочно раскладывают как $(x - 4) (x + 4)$ , хотя это произведение равно $x^{2} - 16$ .

Как правильно: $a$ — выражение, квадрат которого стоит с плюсом. Для $16 - x^{2}$ это $a = 4$ , $b = x$ , поэтому $16 - x^{2} = (4 - x) (4 + x)$ . То же произведение можно записать как $- (x - 4) (x + 4)$ .

Ошибка 3: теряют скобки при составных выражениях.

Почему возникает: в выражении $(2 a - 1)^{2} - (a + 2)^{2}$ пишут $2 a - 1 - a + 2$ в первом множителе, забыв, что минус относится ко всему $a + 2$ .

Как правильно: подставлять $a$ и $b$ в формулу целиком, в скобках. Тогда $(2 a - 1) - (a + 2) = 2 a - 1 - a - 2 = a - 3$ .

Ошибка 4: неверно извлекают «корень» из одночлена.

Почему возникает: $9 x^{2}$ считают квадратом выражения $9 x$ , хотя $(9 x)^{2} = 81 x^{2}$ .

Как правильно: квадратом должен быть весь одночлен: $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ . Коэффициент и каждая степень переменной проверяются отдельно.

Ошибка 5: формулу применяют там, где её нельзя использовать напрямую.

Почему возникает: выражение внешне похоже на разность квадратов, но не удовлетворяет одному из условий.

Как правильно: сначала проверить, что именно стоит в выражении.

Сумма квадратов $x^{2} + 9$ не является разностью, и формула к ней не применяется. Такое выражение нельзя разложить в произведение многочленов с действительными коэффициентами.
В $3 x^{2} - 12$ ни одно слагаемое не является квадратом с целым коэффициентом. После вынесения общего множителя получается $3 (x^{2} - 4) = 3 (x - 2) (x + 2)$ .
В $9 x^{2} - 4 x$ второе слагаемое $4 x$ содержит переменную в первой степени и квадратом не является, поэтому формула не подходит.
$x^{2} - 5$ формально можно разложить как $(x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5})$ , так как $5 = (\sqrt{5})^{2}$ . Если же задача требует множителей с целыми или рациональными коэффициентами, такое разложение не подходит.