Раскрытие скобок — это преобразование алгебраического выражения, при котором выражение со скобками заменяют равным ему выражением без скобок. Алгебраическое выражение — запись из чисел, переменных и знаков действий, например 3(x − 2) + 5 или a − (b + c). Основа преобразования — распределительное свойство умножения: a(b + c) = ab + ac, то есть множитель перед скобками, или коэффициент, умножают на каждое слагаемое внутри скобок. Правило знаков при раскрытии скобок зависит от того, что стоит перед ними: после плюса знаки слагаемых сохраняются, после минуса меняются на противоположные у всех слагаемых. Когда скобки убраны, обычно выполняют приведение подобных слагаемых, то есть складывают слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Что означает раскрыть скобки в алгебраическом выражении
Раскрыть скобки значит записать выражение по-другому, не меняя его значения. Исходная и полученная записи равны при любых допустимых значениях переменных. Такое равенство называют тождеством, а само преобразование — тождественным.
Например, 2(x + 3) и 2x + 6 дают одинаковый результат при любом x. При x = 4 первое выражение равно 2 · 7 = 14, второе равно 8 + 6 = 14.
Скобки мешают объединять похожие слагаемые: в записи 2(x + 3) + 5x нельзя сразу сложить x и 5x, потому что первое x находится внутри произведения. После раскрытия получается 2x + 6 + 5x = 7x + 6, и выражение становится короче.
При решении уравнений раскрытие скобок обычно открывает путь к переносу слагаемых и нахождению корня.
Условие: решить уравнение 3(x − 2) = 2x + 1.
Решение: раскрываем скобки в левой части: 3x − 6 = 2x + 1. Переносим слагаемые с x влево, числа вправо: 3x − 2x = 1 + 6, откуда x = 7.
Проверка: 3 · (7 − 2) = 15 и 2 · 7 + 1 = 15.
Ответ: x = 7.
Основные правила раскрытия скобок
Скобки, перед которыми стоит знак «плюс»
Если перед скобками стоит плюс, скобки можно просто убрать, оставив знаки всех слагаемых без изменений:
a + (b − c + d) = a + b − c + d.
Первое слагаемое в скобках часто записано без знака. Это означает, что перед ним стоит плюс, и после раскрытия он сохраняется.
Пример: 7x + (3 − 2x + y) = 7x + 3 − 2x + y = 5x + 3 + y.
То же правило действует, когда скобка стоит в начале выражения: (a − b) + c = a − b + c. Перед первой скобкой знак не написан, но подразумевается плюс.
Скобки, перед которыми стоит знак «минус»
Если перед скобками стоит минус, скобки убирают, а знак каждого слагаемого внутри меняют на противоположный: плюс на минус, минус на плюс.
a − (b − c + d) = a − b + c − d.
Ответ на частый вопрос, меняется ли знак при раскрытии скобок, зависит от знака перед ними. После минуса знаки меняются, после плюса остаются прежними.
Правило следует из распределительного свойства. Минус перед скобками равносилен умножению на −1: −(b − c + d) = (−1) · b + (−1) · (−c) + (−1) · d = −b + c − d.
Знак меняется у всех слагаемых в скобках, а не только у первого. Это видно на числовом примере: 10 − (8 − 3) = 10 − 5 = 5. Если раскрыть скобки правильно, получится 10 − 8 + 3 = 5. Если изменить знак только у первого слагаемого, выйдет 10 − 8 − 3 = −1, а это другое число.
Пример с переменными: 10 − (4 − x + 2y) = 10 − 4 + x − 2y = 6 + x − 2y.
Умножение числа или выражения на скобки
Когда перед скобками стоит множитель, применяют распределительное свойство умножения: каждое слагаемое в скобках умножают на этот множитель.
k(a + b) = ka + kb, k(a − b) = ka − kb.
Коэффициент перед скобками определяет и величину, и знак каждого нового слагаемого. Положительный коэффициент сохраняет знаки внутри скобок, отрицательный меняет их:
5(2x − 3) = 10x − 15,
−3(x − 4) = −3x + 12.
Правила для плюса и минуса перед скобками — частные случаи этого правила. Плюс соответствует коэффициенту 1, минус — коэффициенту −1. Порядок множителей роли не играет: (a + b)k = ka + kb.
Формулы раскрытия скобок
Основные случаи удобно свести в одну таблицу.
| Случай | Формула | Что происходит |
|---|---|---|
| Плюс перед скобками | a + (b − c) = a + b − c | Знаки сохраняются |
| Минус перед скобками | a − (b − c) = a − b + c | Знаки всех слагаемых меняются |
| Положительный коэффициент и сумма | k(a + b) = ka + kb | Каждое слагаемое умножается на k |
| Положительный коэффициент и разность | k(a − b) = ka − kb | Каждое слагаемое умножается на k |
| Отрицательный коэффициент | −k(a − b) = −ka + kb | Умножение на k и смена знаков |
| Произведение двух скобок | (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd | Каждый член первой скобки умножается на каждый член второй |
Все формулы опираются на одно свойство умножения, поэтому их не обязательно запоминать по отдельности. Достаточно понимать, на что умножается каждое слагаемое и с каким знаком.
Раскрытие скобок при умножении
Коэффициент или одночлен перед скобками
Множителем перед скобками может быть не только число, но и одночлен — произведение числа и переменных, например 2x или −4a. Порядок действий тот же: множитель умножают на каждый член в скобках, перемножая числа и переменные отдельно.
Условие: раскрыть скобки в выражении 2x(3x − 5).
Решение: 2x · 3x = 6x², 2x · (−5) = −10x.
Ответ: 6x² − 10x.
Условие: раскрыть скобки в выражении −4a(a² − 2ab + 3).
Решение: умножаем −4a на каждый член по очереди:
- −4a · a² = −4a³;
- −4a · (−2ab) = 8a²b;
- −4a · 3 = −12a.
Ответ: −4a³ + 8a²b − 12a.
При умножении степеней одной переменной показатели складываются: a · a² = a³. Знак каждого произведения определяется по обычному правилу: произведение чисел одного знака положительно, разных знаков — отрицательно.
Умножение одной скобки на другую
Чтобы перемножить две скобки, каждый член первой скобки умножают на каждый член второй, а полученные произведения складывают. Если в первой скобке m членов, а во второй n, получится m · n произведений. После этого приводят подобные слагаемые.
Условие: раскрыть скобки в выражении (x + 3)(x − 5).
Решение: x · x = x², x · (−5) = −5x, 3 · x = 3x, 3 · (−5) = −15. Получаем x² − 5x + 3x − 15. Подобные слагаемые −5x и 3x дают −2x.
Ответ: x² − 2x − 15.
Условие: раскрыть скобки в выражении (2a − b)(a + 3b − 1).
Решение: сначала умножаем 2a на каждый член второй скобки: 2a², 6ab, −2a. Затем умножаем −b: −ab, −3b², b. Всего шесть произведений:
2a² + 6ab − 2a − ab − 3b² + b.
Подобные здесь только 6ab и −ab, вместе они дают 5ab.
Ответ: 2a² + 5ab − 2a − 3b² + b.
Проверка при a = 1, b = 1: исходное выражение равно (2 − 1)(1 + 3 − 1) = 3, результат равен 2 + 5 − 2 − 3 + 1 = 3.
Порядок раскрытия скобок в сложных выражениях
Вложенные скобки
Вложенными называют скобки, которые находятся внутри других скобок. Для наглядности внешние скобки часто записывают квадратными. Обычно раскрывают сначала самые внутренние скобки, затем следующие за ними, применяя к каждому уровню правило знаков или распределительное свойство. Начинать снаружи тоже допустимо, результат будет тем же, но последовательный путь изнутри наружу реже приводит к потере знака.
Условие: упростить выражение 5 − [2x − (3 − x)].
Решение: перед внутренними скобками минус, поэтому знаки меняются: 2x − (3 − x) = 2x − 3 + x = 3x − 3. Выражение принимает вид 5 − [3x − 3]. Перед квадратными скобками тоже минус: 5 − 3x + 3 = 8 − 3x.
Ответ: 8 − 3x.
Условие: упростить выражение 2[x − 3(x + 1)].
Решение: внутри квадратных скобок раскрываем 3(x + 1) с учётом минуса: x − 3x − 3 = −2x − 3. Затем умножаем на 2: 2(−2x − 3) = −4x − 6.
Ответ: −4x − 6.
Промежуточный результат полезно приводить к простому виду до перехода на следующий уровень. Так внешнее правило применяется к меньшему числу слагаемых.
Несколько скобок и последующее упрощение
Когда в выражении несколько скобок, удобно действовать по алгоритму:
- Раскрыть каждую скобку или произведение скобок по соответствующему правилу.
- Если перед произведением двух скобок стоит минус, сначала перемножить скобки, записать результат в скобках и только потом поменять знаки.
- Привести подобные слагаемые.
- Проверить результат подстановкой числа.
Условие: упростить выражение 3(2x − 1) − (x + 4)(x − 2) + 2(x² − x).
Решение:
- 3(2x − 1) = 6x − 3;
- (x + 4)(x − 2) = x² − 2x + 4x − 8 = x² + 2x − 8, с учётом минуса перед произведением получаем −x² − 2x + 8;
- 2(x² − x) = 2x² − 2x.
Собираем всё вместе: 6x − 3 − x² − 2x + 8 + 2x² − 2x. Приводим подобные: для x² получаем −1 + 2 = 1, для x получаем 6 − 2 − 2 = 2, числа дают −3 + 8 = 5.
Ответ: x² + 2x + 5.
Проверка при x = 1: исходное выражение равно 3 · 1 − 5 · (−1) + 2 · 0 = 8, результат равен 1 + 2 + 5 = 8.
Как проверить результат и избежать ошибок
Проверка знаков после плюса и минуса
После раскрытия полезно пройтись по слагаемым и сравнить их знаки с исходными. После плюса каждый знак должен совпасть, после минуса каждый должен измениться.
Ошибка: знаки меняют после плюса, например 4 + (x − 3) записывают как 4 − x + 3.
Почему возникает: правило для минуса применяют автоматически ко всем скобкам.
Как правильно: после плюса скобки просто убирают: 4 + (x − 3) = 4 + x − 3 = x + 1.
Ошибка: после минуса меняют знак только первого слагаемого: a − (b + c) = a − b + c.
Почему возникает: минус воспринимают как знак, относящийся только к ближайшему числу.
Как правильно: минус относится ко всей скобке, поэтому a − (b + c) = a − b − c.
Простая проверка — подставить число вместо переменной в исходное выражение и в результат. Значения должны совпасть. Совпадение при одном значении ещё не доказывает тождество, но большинство ошибок в знаках таким способом обнаруживается.
Проверка умножения и приведения подобных слагаемых
При умножении на скобки важно убедиться, что множитель попал на каждый член, а знак коэффициента учтён.
Ошибка: множитель умножают только на первое слагаемое: 3(x + 2) = 3x + 2.
Почему возникает: скобку раскрывают по аналогии с обычным снятием скобок.
Как правильно: 3(x + 2) = 3x + 6. Число произведений должно равняться числу членов в скобках.
Ошибка: не учитывают знак коэффициента: −2(x − 5) = −2x − 10.
Почему возникает: знак второго произведения переносят из скобок без умножения на минус.
Как правильно: −2 · (−5) = 10, поэтому −2(x − 5) = −2x + 10.
Ошибка: складывают слагаемые с разной буквенной частью, например x² + 3x записывают как 4x².
Почему возникает: подобными считают слагаемые с одной и той же буквой, не глядя на степень.
Как правильно: подобны только слагаемые с полностью совпадающей буквенной частью, включая степени. Выражение x² + 3x упростить нельзя.
Для проверки подстановкой лучше брать значения вроде 2 или −1, а не 0 и 1. При x = 0 исчезают все слагаемые с переменной, а при x = 1 степени x² и x становятся неразличимы, поэтому часть ошибок может остаться незамеченной.