Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней, например 5x³, −x или 7. Многочлен — это сумма одночленов, например 2x² − 3x + 7; простыми словами, это выражение, собранное из нескольких одночленов знаками «плюс» и «минус». Каждый одночлен в составе многочлена имеет коэффициент, то есть числовой множитель, а степень многочлена равна наибольшей степени его членов. Стандартный вид многочлена получается, когда все члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных слагаемых, то есть членов с одинаковой буквенной частью. Сложение многочленов, вычитание многочленов и умножение многочлена на одночлен или многочлен сводятся к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых.
Что такое многочлен и одночлен
Многочлен описывает величину, которая складывается из нескольких частей разного «порядка»: квадратов, первых степеней переменной, чисел. Например, площадь фигуры, составленной из квадрата со стороной x и прямоугольника 3 × x, равна x² + 3x. Это выражение и есть многочлен: в нём два слагаемых, и каждое из них является одночленом.
Одночлен как часть многочлена
В одночлене нет сложения и вычитания, только умножение чисел и переменных. Одночленами являются:
- числа: 4, −2, 0,5;
- переменные и их степени: x, x², x⁵;
- произведения числа и степени переменной: 3x², −7x, 0,5x⁴;
- произведения, которые можно свести к такому виду: 2x · 3x² (оно равно 6x³).
Выражения x + 1 и x² − 4 одночленами не являются, потому что содержат сумму или разность. Не являются одночленами и выражения с переменной в знаменателе, например 3/x: деления на переменную в одночлене нет.
Многочлен составляется из одночленов как из слагаемых. Члены многочлена 4x³ − x + 6 — это 4x³, −x и 6. Знак перед одночленом считается частью этого члена: во втором слагаемом стоит −x, а не x.
Виды многочленов по количеству слагаемых
По числу членов многочлены получают отдельные названия:
- одночлен — один член: 8x²;
- двучлен (бином) — два члена: x − 5;
- трёхчлен — три члена: x² + 2x + 1.
Многочлены с бо́льшим числом членов обычно называют просто многочленами. Одночлен по определению тоже считается многочленом, состоящим из одного слагаемого. Поэтому правила действий с многочленами применимы и к одночленам.
Считать члены имеет смысл после упрощения записи. Выражение x² + 3x − 3x выглядит как трёхчлен, но после приведения подобных слагаемых превращается в одночлен x².
Из чего состоит многочлен
Любой многочлен разбирается на одночлены, а каждый одночлен — на числовую часть и буквенную часть. От этих частей зависят степень выражения и способ его упрощения.
Коэффициент, переменная и степень одночлена
Одночлен записан в стандартном виде, если в нём один числовой множитель стоит на первом месте, а каждая переменная встречается один раз в виде степени. Например, 2x · 3x² в стандартном виде — это 6x³.
В стандартном виде одночлена различают три элемента:
- коэффициент — числовой множитель: у 6x³ коэффициент равен 6;
- переменную — букву, вместо которой можно подставлять числа: x;
- показатель степени переменной: 3.
Коэффициент 1 и −1 обычно не пишут: у одночлена x коэффициент равен 1, у −x² он равен −1.
Степень одночлена с одной переменной равна показателю степени этой переменной: степень 6x³ равна 3, степень −x равна 1. Если в одночлене несколько переменных, его степень равна сумме их показателей. Число, отличное от нуля, считается одночленом нулевой степени, так как 7 = 7x⁰. У нуля степень обычно не определяют.
Степень многочлена
Степень многочлена — наибольшая из степеней одночленов, из которых он состоит, после записи в стандартном виде. У многочлена 5x⁴ − 2x² + x − 9 члены имеют степени 4, 2, 1 и 0, поэтому степень многочлена равна 4.
Важно сначала привести подобные слагаемые. Многочлен x³ + 2x − x³ на первый взгляд имеет третью степень, но после упрощения от него остаётся 2x, и его степень равна 1.
По степени многочлены называют линейными (первая степень, например 3x − 1), квадратными (вторая степень, например x² − 4x + 3) и кубическими (третья степень).
Стандартный вид многочлена и подобные слагаемые
Одно и то же выражение можно записать множеством способов. Стандартный вид даёт одну удобную форму, по которой сразу видны степень многочлена, его коэффициенты и количество членов.
Как записать многочлен в стандартном виде
Многочлен находится в стандартном виде, если каждый его член записан как одночлен стандартного вида и среди членов нет подобных. Члены принято располагать в порядке убывания степеней, хотя такой порядок является соглашением для удобства, а не обязательным условием.
Условие: записать в стандартном виде многочлен 2x · 3x² − 4x + x³ − 5 + 2x.
Решение:
- Приводим одночлены к стандартному виду: 2x · 3x² = 6x³.
- Получаем 6x³ − 4x + x³ − 5 + 2x.
- Объединяем подобные слагаемые: 6x³ + x³ = 7x³, −4x + 2x = −2x.
- Располагаем члены по убыванию степеней.
Ответ: 7x³ − 2x − 5.
Как найти и привести подобные слагаемые
Подобные слагаемые — члены многочлена с одинаковой буквенной частью, то есть с той же переменной в той же степени. Они могут отличаться только коэффициентами. В многочлене 3x² − x + 5x² + 4 − 2x подобны 3x² и 5x², а также −x и −2x. Числа 4 и, например, −1 тоже подобны друг другу.
Члены 3x² и 3x подобными не являются: степени переменной разные. Одинаковый коэффициент на подобие не влияет.
Привести подобные слагаемые — значит заменить их одним членом. Для этого складывают коэффициенты, а буквенную часть оставляют без изменений:
3x² + 5x² = (3 + 5)x² = 8x², −x − 2x = (−1 − 2)x = −3x.
В итоге 3x² − x + 5x² + 4 − 2x = 8x² − 3x + 4.
Типичная ошибка — складывать показатели степеней: записывать 3x² + 5x² = 8x⁴. Она возникает из-за путаницы с умножением степеней, где показатели действительно складываются. При сложении подобных слагаемых степень не меняется, складываются только коэффициенты.
Сложение и вычитание многочленов
Сумма и разность многочленов тоже являются многочленами. Оба действия выполняются в два шага: сначала раскрываются скобки, затем приводятся подобные слагаемые.
Правило сложения многочленов
Чтобы сложить многочлены, нужно записать их подряд со своими знаками и привести подобные слагаемые. Если перед скобкой стоит плюс, скобки опускают, не меняя знаков внутри.
Условие: найти сумму (3x² − 5x + 1) + (x² + 2x − 4).
Решение:
(3x² − 5x + 1) + (x² + 2x − 4) = 3x² − 5x + 1 + x² + 2x − 4.
Приводим подобные: 3x² + x² = 4x², −5x + 2x = −3x, 1 − 4 = −3.
Ответ: 4x² − 3x − 3.
Правило вычитания и раскрытие скобок
Чтобы вычесть многочлен, нужно раскрыть скобки, перед которыми стоит минус, поменяв знак каждого члена в скобках на противоположный, а затем привести подобные слагаемые.
Условие: найти разность (3x² − 5x + 1) − (x² + 2x − 4).
Решение:
(3x² − 5x + 1) − (x² + 2x − 4) = 3x² − 5x + 1 − x² − 2x + 4.
Приводим подобные: 3x² − x² = 2x², −5x − 2x = −7x, 1 + 4 = 5.
Ответ: 2x² − 7x + 5.
Типичная ошибка — менять знак только у первого члена в скобках: записывать −(x² + 2x − 4) как −x² + 2x − 4. Так происходит, если воспринимать минус как знак одного слагаемого, а не всей скобки. Правильно помнить, что вычитание многочлена равносильно прибавлению каждого его члена с противоположным знаком: −(x² + 2x − 4) = −x² − 2x + 4.
Умножение многочленов
Умножение опирается на распределительный закон a(b + c) = ab + ac. При умножении одночленов коэффициенты перемножаются, а показатели степеней одной переменной складываются: 3x · 2x² = 6x³.
Умножение многочлена на одночлен
Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и сложить полученные произведения.
Условие: выполнить умножение 3x(2x² − x + 4).
Решение:
3x · 2x² = 6x³, 3x · (−x) = −3x², 3x · 4 = 12x.
Ответ: 6x³ − 3x² + 12x.
Знаки учитываются в каждом произведении. Если одночлен отрицательный, знаки всех членов результата меняются: −2x(x − 5) = −2x² + 10x.
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго, сложить произведения и привести подобные слагаемые. Если в первом многочлене m членов, а во втором n, до упрощения получится m · n произведений.
Условие: выполнить умножение (x + 2)(x − 3).
Решение:
(x + 2)(x − 3) = x · x + x · (−3) + 2 · x + 2 · (−3) = x² − 3x + 2x − 6.
Приводим подобные: −3x + 2x = −x.
Ответ: x² − x − 6.
Степень произведения равна сумме степеней множителей: здесь перемножаются два многочлена первой степени, и получается многочлен второй степени. Это удобный способ быстро проверить, не потерян ли старший член.
Деление многочлена на одночлен
В отличие от сложения, вычитания и умножения, деление многочлена на одночлен не всегда даёт многочлен. Результат будет многочленом, только если каждый член делимого делится на одночлен без появления переменной в знаменателе.
Деление коэффициентов и степеней переменных
Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно разделить на этот одночлен каждый член многочлена и сложить результаты. При делении одночленов коэффициенты делятся, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: 12x⁴ : 4x² = 3x².
Условие: разделить (12x⁴ − 8x³ + 4x²) на 4x².
Решение:
12x⁴ : 4x² = 3x², −8x³ : 4x² = −2x, 4x² : 4x² = 1.
Ответ: 3x² − 2x + 1.
Последний член часто теряют: при делении одночлена на равный ему одночлен получается 1, а не 0. Деление на одночлен 0 не определено, а само равенство выполняется при x ≠ 0, так как при x = 0 делитель обращается в нуль.
Если показатель степени какого-либо члена меньше показателя делителя, многочлена в ответе не получится. Например, (x² + 1) : x = x + 1/x, а выражение с переменной в знаменателе многочленом не является.
Запись результата и проверка преобразования
Результат записывают в стандартном виде, располагая члены по убыванию степеней. Проверка основана на связи деления и умножения: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.
Для примера выше:
4x² · (3x² − 2x + 1) = 12x⁴ − 8x³ + 4x².
Получился исходный многочлен, значит, деление выполнено верно. Ещё одна быстрая проверка — по степеням: степень частного равна разности степеней делимого и делителя, здесь 4 − 2 = 2.
Как применять действия с многочленами при решении задач
Действия с многочленами нужны, чтобы превратить громоздкое выражение в короткое и удобное для вычислений. Обычный порядок такой: сначала выполняется умножение, затем раскрываются скобки со знаками и приводятся подобные слагаемые.
Упрощение алгебраических выражений
Условие: упростить выражение 2x(x − 3) − (x + 1)(x − 4).
Решение:
- Умножаем одночлен на многочлен: 2x(x − 3) = 2x² − 6x.
- Умножаем многочлены: (x + 1)(x − 4) = x² − 4x + x − 4 = x² − 3x − 4.
- Вычитаем, меняя знаки во второй скобке: 2x² − 6x − (x² − 3x − 4) = 2x² − 6x − x² + 3x + 4.
- Приводим подобные: 2x² − x² = x², −6x + 3x = −3x.
Ответ: x² − 3x + 4.
Произведение (x + 1)(x − 4) стоит заключить в скобки до вычитания. Если сразу записать − x² − 4x + x − 4, минус затронет только первый член, и ответ окажется неверным.
Нахождение значения многочлена при заданном значении переменной
Значение многочлена — число, которое получается после подстановки вместо переменной заданного числа и выполнения вычислений. Удобнее сначала привести многочлен к стандартному виду: подставлять число в короткое выражение проще, и ошибок меньше.
Условие: найти значение выражения 2x(x − 3) − (x + 1)(x − 4) при x = −2.
Решение: выражение уже упрощено в предыдущем примере до x² − 3x + 4. Подставляем x = −2:
(−2)² − 3 · (−2) + 4 = 4 + 6 + 4 = 14.
Проверка подстановкой в исходное выражение: 2 · (−2) · (−2 − 3) − (−2 + 1)(−2 − 4) = 20 − 6 = 14.
Ответ: 14.
Отрицательное число при подстановке нужно брать в скобки. Без них запись −2² читается как −4, тогда как (−2)² = 4.