Абсолютная погрешность: что это такое и как её вычислить

Абсолютная погрешность — это модуль разности между приближённым значением величины и её точным значением: она показывает, на сколько результат измерения или вычисления отклоняется от истинного или принятого за истинное значения. Приближённое значение — число, полученное при измерении, округлении или расчёте; точное значение — истинная величина или эталонное значение, с которым сравнивают результат. Формула абсолютной погрешности записывается как Δx = |x − x₀|, где x — приближённое значение, x₀ — точное. Модуль разности делает погрешность неотрицательной, а выражается она в той же единице измерения, что и сама величина: если длину измерили в миллиметрах, то и погрешность получится в миллиметрах.

Что такое абсолютная погрешность измерения

Любое измерение даёт результат с некоторым отклонением от истинного значения. Причины разные: ограниченная точность прибора, несовершенство метода, влияние внешних условий, особенности восприятия наблюдателя. Абсолютная погрешность измерения выражает это отклонение числом в единицах измеряемой величины.

Например, если истинная масса гири 500 г, а весы показали 498 г, абсолютная погрешность равна 2 г. Это значит, что показание отличается от истинного значения на 2 г. В какую сторону произошло отклонение, модуль не сообщает: результат 502 г дал бы ту же погрешность.

На практике истинное значение почти никогда не известно. Поэтому абсолютную погрешность чаще понимают как оценку границы отклонения: число Δx, для которого выполняется неравенство |x − x₀| ≤ Δx. Такая оценка означает, что истинное значение находится в интервале от x − Δx до x + Δx.

В некоторых учебниках и метрологических документах абсолютной погрешностью называют разность x − x₀ без модуля. Тогда она может быть отрицательной, а знак показывает, завышен или занижен результат. В школьном курсе физики и математики обычно используют вариант с модулем.

Формула абсолютной погрешности

Основная формула:

Δx = |x − x₀|,

где Δx — абсолютная погрешность, x — приближённое (измеренное) значение, x₀ — точное значение. Способ её применения зависит от того, известно ли точное значение.

Если точное значение известно

Точное значение известно при округлении чисел, при сравнении с эталоном, при проверке прибора по образцовой мере или при работе с математическими константами. В этих случаях погрешность вычисляют прямо по формуле.

Если число 7,846 округлили до 7,8, абсолютная погрешность округления равна |7,8 − 7,846| = 0,046. Если термометр в тающем льду показывает 0,4 °C при истинной температуре 0 °C, его погрешность в этой точке составляет 0,4 °C.

Если точное значение неизвестно

При реальном измерении истинное значение неизвестно, и подставить его в формулу нельзя. Тогда абсолютную погрешность оценивают другими способами.

При однократном измерении погрешность определяют по характеристикам прибора. Для шкальных приборов в учебной практике часто принимают половину цены деления: у линейки с ценой деления 1 мм это 0,5 мм. Для многих приборов предел допускаемой погрешности указан в паспорте или задаётся классом точности, и тогда используют его. Эти правила — соглашения учебной практики, а не единственно возможный подход.

При многократных измерениях за наиболее вероятное значение принимают среднее арифметическое:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n.

Отклонение каждого результата от среднего находят как |xᵢ − x̄|, а случайную погрешность в простейшем варианте оценивают как среднее этих отклонений:

Δx = (|x₁ − x̄| + |x₂ − x̄| + … + |xₙ − x̄|) / n.

В лабораторных работах более высокого уровня вместо этого используют среднеквадратичное отклонение и коэффициент Стьюдента. Такой метод даёт статистически обоснованный доверительный интервал, но требует большего числа измерений и расчётов.

Как найти абсолютную погрешность: порядок расчёта

Расчёт состоит из двух этапов: получить значение погрешности и правильно его оформить вместе с результатом.

Подстановка значений в формулу

1. Определите приближённое значение x: показание прибора, округлённое число или среднее серии измерений.
2. Определите точное значение x₀. Если оно неизвестно, выберите способ оценки: по прибору или по разбросу результатов.
3. Приведите обе величины к одной единице измерения. Нельзя вычитать сантиметры из метров без перевода.
4. Найдите разность x − x₀ и возьмите её модуль.

Перевод единиц — частое место ошибок. Если x = 1,25 м, а x₀ = 124 см, сначала нужно перевести x₀ в метры: 1,24 м. Тогда Δx = |1,25 − 1,24| = 0,01 м.

Округление результата и запись единиц измерения

Абсолютная погрешность сама является оценкой, поэтому указывать её с большим числом знаков бессмысленно. Обычно её округляют до одной значащей цифры. Если первая значащая цифра 1 или 2, часто оставляют две, поскольку округление до одной цифры в этом случае сильно искажает оценку. Конкретное правило может отличаться в разных учебниках, поэтому стоит придерживаться принятого в курсе.

Погрешность округляют в большую сторону или по обычным правилам — это тоже вопрос соглашения. В учебной практике распространено обычное округление.

Сам результат округляют до того же разряда, что и погрешность. Например, при x = 1,2563 м и Δx = 0,0347 м погрешность округляется до 0,03 м, а результат — до сотых: 1,26 м. Записывать 1,2563 м при погрешности в сотые доли метра некорректно: последние цифры уже недостоверны.

Единицу измерения указывают обязательно. Погрешность без единицы, например «0,03», не несёт информации: это могут быть метры, сантиметры или граммы.

Примеры расчёта абсолютной погрешности

Расчёт по приближённому и точному значениям

Условие. Число 2/3 заменили десятичной дробью 0,67. Найдите абсолютную погрешность такого приближения.

Решение. Точное значение x₀ = 2/3, приближённое x = 0,67. Чтобы вычислить разность точно, переведём 0,67 в обыкновенную дробь: 0,67 = 67/100.

Δx = |67/100 − 2/3| = |201/300 − 200/300| = 1/300 ≈ 0,0033.

Ответ: абсолютная погрешность равна 1/300, или примерно 0,0033.

Пример показывает, что при известном точном значении погрешность можно найти без округлений, а приближённую запись использовать только на последнем шаге.

Оценка погрешности результата измерения

Условие. Период колебаний маятника измерили секундомером пять раз и получили: 2,04 с; 2,08 с; 2,01 с; 2,05 с; 2,07 с. Погрешность секундомера — 0,01 с. Оцените абсолютную погрешность и запишите результат.

Решение.

1. Среднее значение: (2,04 + 2,08 + 2,01 + 2,05 + 2,07) / 5 = 10,25 / 5 = 2,05 с.
2. Отклонения от среднего: 0,01; 0,03; 0,04; 0; 0,02 с.
3. Средняя случайная погрешность: (0,01 + 0,03 + 0,04 + 0 + 0,02) / 5 = 0,10 / 5 = 0,02 с.
4. Полная погрешность в простом учебном варианте равна сумме случайной и приборной: 0,02 + 0,01 = 0,03 с.

Ответ: T = (2,05 ± 0,03) с.

Сложение составляющих даёт оценку с запасом. В более строгих методиках независимые составляющие складывают квадратично: √(0,02² + 0,01²) ≈ 0,022 с. Выбор способа зависит от требований к работе.

Виды абсолютной погрешности и причины её возникновения

Погрешности классифицируют по двум признакам: по характеру проявления и по источнику. Одна и та же погрешность может одновременно относиться к группам из обеих классификаций.

Случайная и систематическая составляющие

Случайная погрешность меняется непредсказуемо от измерения к измерению. Она возникает из-за мелких неконтролируемых факторов: колебаний воздуха, вибрации, неточности момента включения секундомера. Её нельзя исключить полностью, но можно уменьшить, повторяя измерения и усредняя результаты. В примере с маятником именно разброс от 2,01 до 2,08 с отражает случайную составляющую.

Систематическая погрешность при повторных измерениях в одинаковых условиях остаётся постоянной или меняется по известному закону. Пример — весы, которые без груза показывают 3 г. Усреднение такую погрешность не уменьшает: все результаты смещены одинаково. Её устраняют поверкой прибора, внесением поправки или сменой метода.

Отдельно выделяют грубые погрешности, или промахи, — результаты, резко отличающиеся от остальных из-за ошибки при отсчёте или записи. Их выявляют и исключают из обработки.

Инструментальная, методическая и субъективная погрешности

Инструментальная погрешность связана с несовершенством средства измерения: ограниченной ценой деления, неточной градуировкой шкалы, износом. Её предел обычно указан в паспорте прибора или определяется классом точности.

Методическая погрешность возникает из-за упрощений в самом способе измерения. Например, при измерении сопротивления по закону Ома включённый в цепь амперметр сам обладает сопротивлением и влияет на результат. Если не учитывать это влияние, появляется методическая погрешность.

Субъективная, или личная, погрешность зависит от наблюдателя: от того, как он считывает показания, под каким углом смотрит на шкалу, с какой скоростью реагирует при включении секундомера. Ошибка параллакса — типичный пример: при взгляде на стрелку сбоку отсчёт смещается.

Как записывают результат с абсолютной погрешностью

Стандартная форма записи:

x = (x̄ ± Δx) единица измерения.

Например, L = (123,0 ± 0,5) мм или T = (2,05 ± 0,03) с. Скобки показывают, что единица относится и к значению, и к погрешности. Запись «123,0 ± 0,5 мм» без скобок формально относит единицу только к погрешности.

При оформлении важно соблюдать три требования:

• погрешность округлена до одной или двух значащих цифр;
• последняя цифра результата стоит в том же разряде, что и последняя цифра погрешности;
• единицы измерения у значения и погрешности совпадают.

Типичная ошибка — запись вида (2,0483 ± 0,03) с. Она возникает, когда результат переписывают с калькулятора без округления. Правильно согласовать разряды: (2,05 ± 0,03) с.

Запись с погрешностью равносильна двойному неравенству: 2,02 с ≤ T ≤ 2,08 с. Она сообщает не одно число, а интервал, в котором находится истинное значение.

Чем абсолютная погрешность отличается от относительной

Абсолютная погрешность показывает, на сколько единиц результат отклоняется от истинного значения. Относительная погрешность показывает, какую долю от измеряемой величины составляет это отклонение:

ε = Δx / |x|,

а в процентах — ε = Δx / |x| · 100%. В знаменателе используют точное значение, если оно известно, или результат измерения.

Различие становится заметным при сравнении измерений разных величин. Погрешность 1 мм при измерении карандаша длиной 10 см даёт относительную погрешность 1%. Та же погрешность 1 мм при измерении комнаты длиной 10 м — всего 0,01%. Абсолютные погрешности одинаковы, а точность второго измерения в 100 раз выше.

Для маятника из примера относительная погрешность равна 0,03 / 2,05 ≈ 0,015, то есть около 1,5%.

Что показывает величина абсолютной погрешности на практике

Прежде всего абсолютная погрешность задаёт границы, в которых можно доверять результату. Если толщина детали (5,00 ± 0,02) мм, конструктор знает, что реальное значение лежит между 4,98 и 5,02 мм, и может проверить, укладывается ли это в допуск.

Она также позволяет сравнивать результаты одной и той же величины. Если два ученика получили (2,05 ± 0,03) с и (2,10 ± 0,04) с, их интервалы 2,02–2,08 с и 2,06–2,14 с пересекаются, поэтому результаты согласуются между собой. Если бы интервалы не пересекались, это указывало бы на ошибку в одном из измерений или на неучтённую систематическую погрешность.

По абсолютной погрешности видно, сколько значащих цифр результата достоверны. При погрешности в сотые доли секунды тысячные доли в записи ничего не означают.

Наконец, оценка погрешности помогает выбрать прибор и метод. Если нужно измерить длину с погрешностью не более 0,1 мм, линейка с ценой деления 1 мм не подойдёт, а штангенциркуль справится.

При этом сама по себе абсолютная погрешность не говорит, насколько измерение точное в целом. Отклонение 1 см может быть большим для ширины монеты и пренебрежимо малым для расстояния между городами. Чтобы оценить качество измерения, её сопоставляют со значением величины, то есть переходят к относительной погрешности.