Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения. Многочлен — это сумма одночленов, одночлен — произведение чисел, переменных и их натуральных степеней, а распределительный закон умножения a(b + c) = ab + ac позволяет выполнить раскрытие скобок, то есть заменить произведение суммы на число суммой произведений; затем приведение подобных слагаемых (сложение членов с одинаковой буквенной частью) даёт стандартный вид многочлена, в котором каждый член записан как одночлен стандартного вида и подобных членов не осталось. Так умножение многочленов сводится к уже знакомым действиям: распределительный закон раскрывает скобки, а приведение подобных доводит ответ до окончательной записи. В курсе алгебры эту тему изучают в 7 классе, и на ней строятся формулы сокращённого умножения и разложение на множители.
Правило умножения многочлена на многочлен
Произведение двух многочленов равно сумме всех произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго.
Правило следует из распределительного закона. В произведении (a + b)(c + d) второй множитель можно временно считать одним числом и раскрыть первые скобки:
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d).
Каждое из слагаемых снова раскрывается по тому же закону:
a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.
В результате каждый из двух членов первого многочлена встретился с каждым из двух членов второго, и получилось четыре произведения. В общем случае, если в первом многочлене m членов, а во втором n, до приведения подобных получается m · n произведений. Это число удобно использовать для контроля: если произведений меньше, какое-то из них пропущено.
Правило не зависит от количества членов. Двучлен на двучлен, двучлен на трёхчлен, трёхчлен на трёхчлен умножаются одинаково, меняется только число получаемых произведений. Умножение одночлена на многочлен, которое изучают в 7 классе раньше, оказывается частным случаем этого правила: в первом множителе просто один член.
Алгоритм умножения многочленов
Как умножить многочлен на многочлен на практике, удобно описать последовательностью действий:
- Умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго. Удобно идти по порядку: первый член первого многочлена умножить на все члены второго, затем второй член, и так далее.
- Записать полученные произведения с учётом знаков. Знак относится к члену, стоящему после него: в многочлене x − 5 членами являются x и −5. Знак произведения определяется по обычному правилу: плюс на минус даёт минус, минус на минус даёт плюс.
- Раскрыть скобки и выполнить действия с коэффициентами и степенями. Числовые коэффициенты перемножаются, а при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: x² · x³ = x⁵.
- Привести подобные слагаемые. Подобными считаются члены с одинаковой буквенной частью, например 3x² и −2x², их коэффициенты складываются. Члены x² и x подобными не являются.
- Записать результат в стандартном виде многочлена. Обычно члены располагают по убыванию степеней переменной: сначала x³, затем x², x и свободный член.
Для произведения нескольких многочленов действия выполняют последовательно: сначала перемножают первые два, затем результат умножают на третий.
Примеры умножения многочлена на многочлен
Умножение двух двучленов
Условие. Выполните умножение (x + 3)(x − 5).
Решение. Умножим x на каждый член второго двучлена, затем 3 на каждый член:
(x + 3)(x − 5) = x · x + x · (−5) + 3 · x + 3 · (−5) = x² − 5x + 3x − 15.
Члены −5x и 3x подобны: −5x + 3x = −2x.
Ответ: x² − 2x − 15.
Тот же порядок действий работает, когда переменных несколько.
Условие. Выполните умножение (2a − 3b)(a + 4b).
Решение.
(2a − 3b)(a + 4b) = 2a · a + 2a · 4b − 3b · a − 3b · 4b = 2a² + 8ab − 3ab − 12b².
Произведения ab и ba равны, поэтому 8ab и −3ab подобны: 8ab − 3ab = 5ab.
Ответ: 2a² + 5ab − 12b².
Умножение двучлена на трёхчлен
Условие. Выполните умножение (x − 2)(x² + 3x − 4).
Решение. В первом многочлене два члена, во втором три, значит, до приведения подобных должно получиться 2 · 3 = 6 произведений.
Умножим x на каждый член трёхчлена: x · x² + x · 3x + x · (−4) = x³ + 3x² − 4x.
Умножим −2 на каждый член трёхчлена: −2 · x² − 2 · 3x − 2 · (−4) = −2x² − 6x + 8.
Сложим результаты:
x³ + 3x² − 4x − 2x² − 6x + 8.
Приведём подобные: 3x² − 2x² = x², −4x − 6x = −10x.
Ответ: x³ + x² − 10x + 8.
Пример со скобками, отрицательными коэффициентами и приведением подобных слагаемых
Условие. Упростите выражение (3 − 2x)(x² − x − 4) − (1 − x)(2x² − x).
Решение. Сначала находим каждое произведение отдельно, сохраняя его в скобках, и только потом учитываем минус перед вторым произведением.
Первое произведение:
(3 − 2x)(x² − x − 4) = 3x² − 3x − 12 − 2x³ + 2x² + 8x = −2x³ + 5x² + 5x − 12.
Здесь −2x · (−x) = 2x², а −2x · (−4) = 8x: произведение двух отрицательных членов положительно.
Второе произведение:
(1 − x)(2x² − x) = 2x² − x − 2x³ + x² = −2x³ + 3x² − x.
Подставим оба результата в выражение. Минус перед скобками меняет знаки всех членов второго произведения:
−2x³ + 5x² + 5x − 12 − (−2x³ + 3x² − x) = −2x³ + 5x² + 5x − 12 + 2x³ − 3x² + x.
Приведём подобные: −2x³ + 2x³ = 0, 5x² − 3x² = 2x², 5x + x = 6x.
Ответ: 2x² + 6x − 12.
Если бы минус применили только к первому члену второго произведения, кубы не сократились бы и ответ оказался бы неверным. Поэтому промежуточный результат перед вычитанием нужно обязательно заключать в скобки.
Типичные ошибки при умножении многочленов
Умножение только первых и последних членов
В чём ошибка. Записывают (x + 2)(x + 3) = x² + 6, перемножая только первые члены между собой и последние между собой.
Почему она возникает. Умножение многочленов по привычке путают с умножением одночленов или переносят на скобки правило «каждый со своим», как при умножении дробей. Перекрёстные произведения x · 3 и 2 · x при этом теряются.
Как действовать правильно. Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Перед приведением подобных стоит пересчитать произведения: для двух двучленов их должно быть четыре. Ошибочность записи x² + 6 видна и при подстановке x = 1: (1 + 2)(1 + 3) = 12, а 1 + 6 = 7.
Потеря или неправильная смена знака
В чём ошибка. В произведении (x − 4)(x − 3) получают x² − 3x − 4x − 12, то есть считают, что (−4) · (−3) = −12. Другой вариант той же ошибки: в выражении 5 − (x − 1)(x + 2) меняют знак только у первого члена произведения.
Почему она возникает. Знак воспринимают как действие между членами, а не как часть члена, и теряют его при переписывании. Минус перед произведением многочленов часто применяют до того, как произведение найдено.
Как действовать правильно. Считать знак частью члена: в многочлене x − 4 члены равны x и −4. Тогда (x − 4)(x − 3) = x² − 3x − 4x + 12 = x² − 7x + 12. Если перед произведением стоит минус, сначала нужно найти произведение и записать его в скобках: (x − 1)(x + 2) = x² + x − 2, затем 5 − (x² + x − 2) = 5 − x² − x + 2 = −x² − x + 7.
Ошибки при работе со степенями и подобными слагаемыми
В чём ошибка. Встречаются записи x² · x³ = x⁶, 2x · 3x = 5x или 6x, а также x² + x = x³ и 3a²b + 2ab² = 5a²b.
Почему она возникает. Правила умножения степеней путают со сложением и с возведением в степень, а подобными считают любые члены с одинаковыми буквами, не проверяя показатели.
Как действовать правильно. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: x² · x³ = x⁵. При умножении одночленов коэффициенты перемножаются, а степени переменных складываются по показателям: 2x · 3x = 6x². Складывать можно только подобные члены, у которых совпадают и переменные, и их показатели: x² и x не подобны, a²b и ab² тоже не подобны, поэтому такие суммы остаются без изменений.
Как проверить результат
Первая проверка выполняется до приведения подобных: число полученных произведений должно равняться произведению числа членов множителей. Для двучлена и трёхчлена это 6 произведений, для двух трёхчленов 9.
Вторая проверка касается старшего и свободного членов. Старший член ответа равен произведению старших членов множителей, а свободный член равен произведению свободных членов. Для (x − 2)(x² + 3x − 4) старший член x · x² = x³, свободный (−2) · (−4) = 8, что совпадает с ответом x³ + x² − 10x + 8. Если в ходе приведения подобных старшие члены сократились, как в примере с вычитанием, это правило к итоговому выражению напрямую не применяется, но остаётся верным для каждого произведения по отдельности.
Третья проверка — подстановка числа. Исходное выражение и ответ должны давать одинаковое значение при одном и том же значении переменной. Для того же примера при x = 3: (3 − 2)(9 + 9 − 4) = 1 · 14 = 14 и 27 + 9 − 30 + 8 = 14. Значения совпали.
Для подстановки лучше брать небольшие числа, отличные от 0 и 1: при x = 0 проверяется только свободный член, а при x = 1 все степени равны единице и ошибки в показателях не видны. Несовпадение значений точно указывает на ошибку. Совпадение при одном числе ещё не доказывает правильность ответа, поэтому при сомнениях проверку повторяют для второго значения переменной.