Квадратный трёхчлен и теорема Виета

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c, где a, b, c — числа и a ≠ 0. Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 получается приравниванием такого трёхчлена к нулю, а его корни — это значения x, при которых равенство становится верным. Теорема Виета утверждает, что сумма и произведение корней квадратного уравнения выражаются через его коэффициенты: для уравнения ax² + bx + c = 0 справедливы формулы Виета x₁ + x₂ = −b/a и x₁ · x₂ = c/a. Коэффициенты здесь называются так: a — старший коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член. Формулы применимы к уравнению, у которого есть действительные корни, то есть дискриминант D = b² − 4ac неотрицателен.

Приведённое и неприведённое квадратное уравнение

От вида уравнения зависит, насколько удобно записывать формулы Виета и подбирать корни.

Приведённое квадратное уравнение

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице:

x² + px + q = 0.

Второй коэффициент в такой записи обычно обозначают буквой p, а свободный член — буквой q. Примеры приведённых уравнений: x² − 5x + 6 = 0, x² + 3x − 10 = 0, x² − 4 = 0. В последнем p = 0.

Для приведённого уравнения теорема Виета выглядит проще всего, поэтому именно с ним чаще работают при устном подборе корней.

Неприведённое квадратное уравнение

Неприведённым называют квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, в котором a ≠ 1. Например, 2x² − 7x + 3 = 0 или −x² + 4x − 3 = 0.

Любое такое уравнение можно привести, разделив обе части на a. Корни при этом не меняются, потому что деление на ненулевое число даёт равносильное уравнение:

2x² − 7x + 3 = 0 ⇔ x² − 3,5x + 1,5 = 0.

После деления коэффициенты могут стать дробными, и подбор корней усложняется. Поэтому для неприведённых уравнений удобнее сразу пользоваться общими формулами Виета.

Формулы Виета для квадратного уравнения

Теорема Виета связывает два числа — корни уравнения — с его коэффициентами. Зная коэффициенты, можно сразу записать сумму и произведение корней, даже не находя сами корни.

Сумма и произведение корней в приведённом уравнении

Если x₁ и x₂ — корни приведённого уравнения x² + px + q = 0, то:

x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q.

Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Пример: у уравнения x² − 5x + 6 = 0 коэффициенты p = −5 и q = 6. Значит, x₁ + x₂ = 5, x₁ · x₂ = 6. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3, и они действительно являются корнями.

Если дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень, который в формулах учитывается дважды: x₁ = x₂. Например, у x² − 6x + 9 = 0 корень равен 3, и 3 + 3 = 6, 3 · 3 = 9.

Формулы для общего вида с ненулевым старшим коэффициентом

Для уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, формулы Виета записываются так:

x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.

Приведённое уравнение — частный случай этих формул: при a = 1 получается x₁ + x₂ = −b и x₁ · x₂ = c, то есть −p и q.

Пример: для 3x² − 5x + 2 = 0 сумма корней равна 5/3, а произведение — 2/3. Корни этого уравнения 1 и 2/3: 1 + 2/3 = 5/3, 1 · 2/3 = 2/3.

Условие a ≠ 0 обязательно. При a = 0 уравнение перестаёт быть квадратным, и деление на a теряет смысл.

Почему работают формулы Виета

Формулы Виета следуют из формулы корней квадратного уравнения. Если D = b² − 4ac ≥ 0, то корни уравнения ax² + bx + c = 0 равны:

x₁ = (−b + √D) / (2a), x₂ = (−b − √D) / (2a).

Вывод формулы суммы корней

Сложим корни. Знаменатели одинаковые, поэтому складываются только числители:

x₁ + x₂ = (−b + √D − b − √D) / (2a) = −2b / (2a) = −b/a.

Слагаемые +√D и −√D взаимно уничтожаются. Поэтому сумма корней не зависит от дискриминанта и определяется только коэффициентами a и b.

Вывод формулы произведения корней

Перемножим корни. В числителе получается произведение суммы и разности одних и тех же выражений, поэтому применяется формула разности квадратов:

x₁ · x₂ = (−b + √D)(−b − √D) / (4a²) = (b² − D) / (4a²).

Подставим D = b² − 4ac:

x₁ · x₂ = (b² − b² + 4ac) / (4a²) = 4ac / (4a²) = c/a.

Вывод опирается на существование действительных корней. Если D < 0, выражение √D не определено среди действительных чисел, и действительных корней нет. В курсе алгебры 8 класса теорему Виета в таком случае не применяют.

Как решать квадратное уравнение по теореме Виета

Теорема Виета позволяет найти корни без вычисления дискриминанта, если корни — целые или простые дробные числа. Чаще всего так решают приведённые уравнения с целыми коэффициентами.

Алгоритм подбора корней по их сумме и произведению

1. Убедиться, что уравнение приведённое. Если нет, разделить его на старший коэффициент или воспользоваться общими формулами.
2. Записать, чему равны сумма корней (−p) и произведение корней (q).
3. Перебрать пары целых чисел, произведение которых равно q.
4. Выбрать пару, сумма которой равна −p.
5. Записать ответ.

Перебор удобнее начинать с произведения: делителей у свободного члена конечное число, а пар с заданной суммой бесконечно много.

Если пара найдена, проверять дискриминант не нужно. По обратной теореме Виета числа с такими суммой и произведением обязательно являются корнями уравнения.

Как определить знаки корней

Знаки корней можно установить заранее по знакам коэффициентов приведённого уравнения x² + px + q = 0. Это сокращает перебор вдвое.

Логика такая. Положительное произведение означает, что корни одного знака, а их общий знак совпадает со знаком суммы −p. Отрицательное произведение означает, что корни разных знаков, и сумма принимает знак корня с большим модулем. Если q < 0, то D = p² − 4q > 0, поэтому такое уравнение всегда имеет два корня.

Когда подбор корней неприменим или требует проверки

Подбор работает не всегда, и важно понимать его границы.

• Если D < 0, действительных корней нет. Никакая пара чисел не подойдёт, а формальная запись x₁ + x₂ и x₁ · x₂ не имеет смысла.
• Если корни иррациональные, как у x² − 2x − 1 = 0 с корнями 1 ± √2, подобрать их перебором целых чисел невозможно.
• Если корни дробные или коэффициенты большие, перебор становится долгим, и быстрее воспользоваться формулой корней через дискриминант.

Отсутствие подходящей целой пары не доказывает, что корней нет. Это означает только одно: корни не целые. В таком случае нужно вычислить дискриминант.

Когда теорему Виета используют без нахождения корней, например для вычисления x₁² + x₂², существование корней нужно проверить заранее через условие D ≥ 0.

Примеры применения теоремы Виета

Каждый пример решается по одной схеме: условие, рассуждение, ответ.

Поиск целых корней приведённого уравнения

Условие. Решите уравнение x² − 7x + 12 = 0.

Решение. Уравнение приведённое: p = −7, q = 12. Значит, x₁ + x₂ = 7, x₁ · x₂ = 12. Произведение и сумма положительны, поэтому оба корня положительные. Пары положительных множителей числа 12: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумму 7 даёт только пара 3 и 4.

Проверка: 3² − 7 · 3 + 12 = 9 − 21 + 12 = 0; 4² − 7 · 4 + 12 = 16 − 28 + 12 = 0.

Ответ: 3; 4.

Уравнение с двумя отрицательными корнями

Условие. Решите уравнение x² + 9x + 14 = 0.

Решение. Здесь p = 9, q = 14. Сумма корней равна −9, произведение равно 14. Произведение положительно, сумма отрицательна, поэтому оба корня отрицательные. Пары отрицательных множителей числа 14: −1 и −14, −2 и −7. Сумму −9 даёт пара −2 и −7.

Проверка: (−2)² + 9 · (−2) + 14 = 4 − 18 + 14 = 0; (−7)² + 9 · (−7) + 14 = 49 − 63 + 14 = 0.

Ответ: −7; −2.

Уравнение с корнями разных знаков

Условие. Решите уравнение x² − 2x − 15 = 0.

Решение. Здесь p = −2, q = −15. Сумма корней равна 2, произведение равно −15. Произведение отрицательно, значит, корни разных знаков. Сумма положительна, поэтому больший по модулю корень положительный. Пары множителей числа −15 с положительным большим по модулю числом: 15 и −1, 5 и −3. Сумму 2 даёт пара 5 и −3.

Проверка: 5² − 2 · 5 − 15 = 25 − 10 − 15 = 0; (−3)² − 2 · (−3) − 15 = 9 + 6 − 15 = 0.

Ответ: −3; 5.

Решение неприведённого уравнения

Условие. Решите уравнение 2x² − 7x + 3 = 0.

Решение. Старший коэффициент a = 2, поэтому применяем общие формулы:

x₁ + x₂ = −b/a = 7/2, x₁ · x₂ = c/a = 3/2.

Оба значения положительны, поэтому корни положительные. Нужны два числа с произведением 3/2 и суммой 7/2 = 3,5. Подходят 3 и 1/2: 3 · 1/2 = 3/2, 3 + 1/2 = 7/2.

Проверка: 2 · 3² − 7 · 3 + 3 = 18 − 21 + 3 = 0; 2 · (1/2)² − 7 · 1/2 + 3 = 0,5 − 3,5 + 3 = 0.

Ответ: 1/2; 3.

Если подходящую пару не удаётся увидеть быстро, надёжнее вычислить дискриминант: D = 49 − 24 = 25, x = (7 ± 5)/4, откуда x₁ = 3, x₂ = 1/2.

Обратная теорема Виета

Обратная теорема Виета утверждает: если числа m и n удовлетворяют условиям m + n = −p и m · n = q, то они являются корнями уравнения x² + px + q = 0. Прямая теорема переходит от уравнения к сумме и произведению корней, обратная — от суммы и произведения к уравнению.

Как составить квадратное уравнение по заданным корням

Чтобы составить приведённое уравнение с корнями x₁ и x₂, достаточно найти их сумму и произведение и подставить в запись:

x² − (x₁ + x₂)x + x₁ · x₂ = 0.

Пример 1. Корни 2 и −5. Сумма равна −3, произведение равно −10. Уравнение: x² − (−3)x + (−10) = 0, то есть x² + 3x − 10 = 0.

Пример 2. Корни 1/3 и 2. Сумма равна 7/3, произведение равно 2/3. Приведённое уравнение: x² − (7/3)x + 2/3 = 0. Умножив обе части на 3, получим уравнение с целыми коэффициентами: 3x² − 7x + 2 = 0.

Проверка второго уравнения: 3 · 2² − 7 · 2 + 2 = 12 − 14 + 2 = 0; 3 · (1/3)² − 7 · 1/3 + 2 = 1/3 − 7/3 + 6/3 = 0.

Квадратных уравнений с данными корнями бесконечно много: любое из них можно умножить на ненулевое число k. Приведённое уравнение среди них единственное.

Как проверить найденную пару чисел

Обратная теорема даёт способ проверки без подстановки: нужно сравнить сумму и произведение пары с коэффициентами уравнения.

Пример. Являются ли числа 2 и −3 корнями уравнения x² + x − 6 = 0?

Сумма: 2 + (−3) = −1, и это совпадает с −p = −1. Произведение: 2 · (−3) = −6, что совпадает с q = −6. Оба условия выполнены, значит, пара является корнями.

Пара −2 и 3 даёт верное произведение −6, но сумма равна 1, а не −1. Значит, эти числа не являются корнями данного уравнения: их корни у уравнения x² − x − 6 = 0.

Совпадения только одного условия недостаточно. Проверять нужно и сумму, и произведение.

Типичные ошибки при применении теоремы Виета

Большинство ошибок связаны не со сложными вычислениями, а с неточным применением формул.

Игнорирование старшего коэффициента

В чём ошибка. Для уравнения 3x² − 5x + 2 = 0 записывают x₁ + x₂ = 5 и x₁ · x₂ = 2, как будто уравнение приведённое.

Почему она возникает. Формулы x₁ + x₂ = −p и x₁ · x₂ = q запоминаются как основные, и их применяют без проверки условия a = 1.

Как действовать правильно. Если a ≠ 1, нужно делить на старший коэффициент: x₁ + x₂ = 5/3, x₁ · x₂ = 2/3. Подходят корни 1 и 2/3. Пара 2 и 3, подобранная по ошибочным формулам, не подходит: 3 · 2² − 5 · 2 + 2 = 4 ≠ 0.

Ошибка в знаке суммы корней

В чём ошибка. Для уравнения x² − 8x + 15 = 0 записывают x₁ + x₂ = −8 и получают корни −3 и −5.

Почему она возникает. Сумму приравнивают ко второму коэффициенту, забывая о смене знака. В произведении знак не меняется, и эту разницу легко упустить.

Как действовать правильно. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: x₁ + x₂ = −(−8) = 8. Произведение равно 15, корни 3 и 5. Быстрая проверка по таблице знаков тоже помогает: при q > 0 и p < 0 оба корня должны быть положительными.

Подбор корней без проверки условий

В чём ошибка. Для уравнения x² + 2x + 5 = 0 сразу пишут x₁ + x₂ = −2, x₁ · x₂ = 5 и, например, вычисляют x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 4 − 10 = −6.

Почему она возникает. Формулы Виета применяют механически, не проверив, существуют ли корни.

Как действовать правильно. Сначала нужно найти дискриминант: D = 2² − 4 · 5 = −16 < 0. Действительных корней нет, поэтому выражения x₁ + x₂ и x₁² + x₂² не имеют смысла. Отрицательный результат для суммы квадратов действительных чисел сам указывает на ошибку. Если же корни подобраны, полезно подставить их в исходное уравнение или сверить сумму и произведение с коэффициентами по обратной теореме.