Разложение квадратного трёхчлена на множители: формулы, способы и примеры

Разложение квадратного трёхчлена на множители — это запись многочлена $a x^{2} + b x + c$ , где $a$ , $b$ , $c$ — коэффициенты квадратного трёхчлена и $a \neq 0$ , в виде произведения $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Здесь $x - x_{1}$ и $x - x_{2}$ — линейные множители, то есть многочлены первой степени, а $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ : значения переменной, при которых трёхчлен равен нулю. Такая запись называется формулой разложения на множители. Корни находят через дискриминант $D = b^{2} - 4 a c$ , число, которое показывает, сколько действительных корней имеет уравнение, или подбирают по теореме Виета, связывающей корни с коэффициентами: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ . Цепочка всегда одна и та же: коэффициенты определяют дискриминант, дискриминант определяет число корней, а корни задают линейные множители. При $D > 0$ получаются два разных множителя, при $D = 0$ — квадрат одного множителя, при $D < 0$ на действительные линейные множители трёхчлен не раскладывается.

Что такое квадратный трёхчлен и разложение на множители

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида $a x^{2} + b x + c$ , где $x$ — переменная, $a$ , $b$ , $c$ — числа и $a \neq 0$ . Коэффициент $a$ называют старшим, $b$ — вторым коэффициентом, $c$ — свободным членом. Условие $a \neq 0$ обязательно: без него слагаемое с $x^{2}$ исчезает и выражение становится линейным.

Коэффициенты $b$ и $c$ могут быть равны нулю. Поэтому $2 x^{2} - 3 x + 1$ , $x^{2} - 9$ и $5 x^{2} + 4 x$ — квадратные трёхчлены, хотя у двух последних на виду всего по два слагаемых.

Разложить трёхчлен на множители — значит заменить его тождественно равным произведением, которое совпадает с исходным выражением при любом значении $x$ . Для квадратного трёхчлена это произведение старшего коэффициента и двух линейных множителей вида $x - x_{1}$ или $k x + m$ :

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) .

Раскрыв скобки справа, получим исходное выражение. Это и подтверждает, что разложение верное.

Разложение выражения и решение уравнения — разные задачи. Трёхчлен $x^{2} - 5 x + 6$ раскладывают тождественным преобразованием, и результатом служит новое выражение. Уравнение $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ на множители не раскладывают: раскладывают его левую часть, а затем по полученному произведению находят корни. Формулировка «разложить квадратное уравнение» в обиходе означает именно это.

Формула разложения квадратного трёхчлена через его корни

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни квадратного трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ , то

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .

Формула следует из теоремы Виета. Раскроем скобки в правой части:

a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a (x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}) .

Подставим $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ и $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ :

a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = a x^{2} + b x + c .

Применять формулу в таком виде можно, когда у трёхчлена два действительных корня, то есть при $D = b^{2} - 4 a c > 0$ . Корни вычисляют по формуле

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} .

Множитель $a$ перед скобками терять нельзя: без него произведение будет отличаться от исходного трёхчлена в $a$ раз. Если корни дробные, $a$ удобно внести в одну из скобок. Например, $2 (x - \frac{1}{2}) (x - 1) = (2 x - 1) (x - 1)$ .

Число множителей зависит от знака дискриминанта:

Дискриминант	Корни	Разложение
$D > 0$	два различных: $x_{1} \neq x_{2}$	$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
$D = 0$	один корень $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$	$a (x - x_{0})^{2}$
$D < 0$	действительных корней нет	на действительные линейные множители не раскладывается

При $D = 0$ формула не ломается: корни совпадают, и два одинаковых множителя образуют квадрат. Например, $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ .

При $D < 0$ трёхчлен, например $x^{2} + x + 1$ , в школьном курсе считают неразложимым. Разложение существует только в комплексных числах, и на действительных числах его не рассматривают.

Способы разложения квадратного трёхчлена на множители

Раскладывать трёхчлен на множители можно несколькими способами. Универсален только способ через дискриминант. Остальные быстрее, но работают лишь при определённом виде коэффициентов.

Разложение с помощью дискриминанта и корней квадратного уравнения

Способ подходит для любого трёхчлена:

Вычислить $D = b^{2} - 4 a c$ .
Если $D < 0$ , остановиться: разложения на действительные линейные множители нет.
Найти корни по формуле $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ .
Подставить их в $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Главное достоинство способа в том, что он справляется с дробными и иррациональными корнями, которые подобрать устно почти невозможно.

Разложение по теореме Виета

Для приведённого трёхчлена $x^{2} + p x + q$ со старшим коэффициентом 1 теорема Виета даёт простые условия: $x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} x_{2} = q$ . На практике пользуются обратной теоремой: если два числа в сумме дают $- p$ , а в произведении $q$ , то они и есть корни.

Подбор начинают с произведения, потому что делителей у $q$ обычно немного. Знак $q$ сразу подсказывает знаки корней:

$q > 0$ — корни одного знака, и этот знак противоположен знаку $p$ ;
$q < 0$ — корни разных знаков, и больший по модулю имеет знак, противоположный знаку $p$ .

Способ эффективен, когда корни целые. Если $a \neq 1$ , трёхчлен сначала делят на $a$ , но тогда коэффициенты часто становятся дробными и подбор теряет смысл. В таком случае удобнее дискриминант или AC-метод.

Разложение с помощью формул сокращённого умножения

Некоторые трёхчлены сразу узнаются как результат формулы сокращённого умножения:

m^{2} + 2 m n + n^{2} = (m + n)^{2}, m^{2} - 2 m n + n^{2} = (m - n)^{2}, m^{2} - n^{2} = (m - n) (m + n) .

Признак полного квадрата: крайние слагаемые — квадраты выражений, а среднее равно их удвоенному произведению. Так, в $4 x^{2} - 12 x + 9$ имеем $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ , $9 = 3^{2}$ , $12 x = 2 \cdot 2 x \cdot 3$ , поэтому $4 x^{2} - 12 x + 9 = (2 x - 3)^{2}$ . Такой трёхчлен всегда имеет $D = 0$ .

Разность квадратов соответствует случаю $b = 0$ , $c < 0$ при $a > 0$ : $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ .

Разложение методом группировки и AC-методом

AC-метод сводит задачу к группировке. Ищут два числа $m$ и $n$ , для которых

m \cdot n = a \cdot c, m + n = b .

Затем среднее слагаемое $b x$ записывают как $m x + n x$ и группируют по два слагаемых.

Разложим $6 x^{2} + 7 x + 2$ . Здесь $a c = 12$ , $b = 7$ , подходят числа 3 и 4:

6 x^{2} + 7 x + 2 = 6 x^{2} + 3 x + 4 x + 2 = 3 x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1) = (2 x + 1) (3 x + 2) .

Метод удобен при $a \neq 1$ и целых коэффициентах: он даёт разложение сразу с целыми коэффициентами в скобках, без промежуточных дробей. Если подходящих целых $m$ и $n$ нет, корни нецелые или их нет вовсе, и нужно переходить к дискриминанту.

Пошаговый алгоритм: как разложить трёхчлен на множители

Определить коэффициенты $a$ , $b$ , $c$ . Перед этим запишите трёхчлен в стандартном виде, по убыванию степеней. В $5 - x^{2} + 4 x$ старший коэффициент равен $- 1$ , а не 5.
Проверить, можно ли вынести общий множитель. Если у всех коэффициентов есть общий делитель, его выносят за скобки: $3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3)$ . При $c = 0$ выносят $x$ : $5 x^{2} + 4 x = x (5 x + 4)$ . Если $a < 0$ , удобно вынести $- 1$ .
Выбрать подходящий способ. Полный квадрат или разность квадратов узнаются по виду. При $a = 1$ и небольших целых коэффициентах подходит теорема Виета, при $a \neq 1$ с целыми коэффициентами — AC-метод. В остальных случаях используют дискриминант.
Найти корни или подобрать числа по теореме Виета. При работе через дискриминант сначала проверьте его знак: если $D < 0$ , разложения нет.
Записать линейные множители с учётом старшего коэффициента. Корни подставляют в $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ со сменой знака: корню $- 2$ соответствует множитель $x + 2$ . Вынесенный на втором шаге множитель тоже входит в ответ.
Раскрыть скобки и проверить результат. Произведение должно совпасть с исходным трёхчленом коэффициент за коэффициентом.

Примеры разложения квадратного трёхчлена

Пример с двумя целыми корнями

Условие. Разложить на множители $2 x^{2} - 6 x - 20$ .

Решение. Все коэффициенты делятся на 2:

2 x^{2} - 6 x - 20 = 2 (x^{2} - 3 x - 10) .

Для трёхчлена в скобках $a = 1$ , $b = - 3$ , $c = - 10$ :

D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10) = 9 + 40 = 49, \sqrt{D} = 7 .

x_{1} = \frac{3 + 7}{2} = 5, x_{2} = \frac{3 - 7}{2} = - 2 .

Значит, $x^{2} - 3 x - 10 = (x - 5) (x + 2)$ .

Проверка: $(x - 5) (x + 2) = x^{2} + 2 x - 5 x - 10 = x^{2} - 3 x - 10$ .

Ответ: $2 x^{2} - 6 x - 20 = 2 (x - 5) (x + 2)$ .

Пример с дробными или иррациональными корнями

Условие 1. Разложить на множители $3 x^{2} - 5 x - 2$ .

Решение. $a = 3$ , $b = - 5$ , $c = - 2$ :

D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 25 + 24 = 49, x_{1, 2} = \frac{5 \pm 7}{6},

x_{1} = 2, x_{2} = - \frac{2}{6} = - \frac{1}{3} .

По формуле $3 x^{2} - 5 x - 2 = 3 (x - 2) (x + \frac{1}{3})$ . Множитель 3 вносим во вторую скобку: $3 (x + \frac{1}{3}) = 3 x + 1$ .

Проверка: $(x - 2) (3 x + 1) = 3 x^{2} + x - 6 x - 2 = 3 x^{2} - 5 x - 2$ .

Ответ: $3 x^{2} - 5 x - 2 = (x - 2) (3 x + 1)$ .

Условие 2. Разложить на множители $x^{2} - 4 x + 1$ .

Решение. $D = 16 - 4 = 12$ , $\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ :

x_{1, 2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} .

Проверка: $(x - 2 - \sqrt{3}) (x - 2 + \sqrt{3}) = (x - 2)^{2} - 3 = x^{2} - 4 x + 1$ .

Ответ: $x^{2} - 4 x + 1 = (x - 2 - \sqrt{3}) (x - 2 + \sqrt{3})$ .

Подбором такие корни не найти, поэтому здесь нужен дискриминант.

Пример разложения по теореме Виета

Условие. Разложить на множители $x^{2} + 3 x - 28$ .

Решение. Трёхчлен приведённый, поэтому ищем числа с суммой $- 3$ и произведением $- 28$ . Произведение отрицательно, значит, знаки корней разные. Сумма отрицательна, значит, больший по модулю корень отрицателен. Среди пар делителей 28 (1 и 28, 2 и 14, 4 и 7) разность 3 даёт только пара 4 и 7. Корни: $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 7$ .

Проверка: $(x - 4) (x + 7) = x^{2} + 7 x - 4 x - 28 = x^{2} + 3 x - 28$ .

Ответ: $x^{2} + 3 x - 28 = (x - 4) (x + 7)$ .

Пример применения формулы сокращённого умножения

Условие. Разложить на множители $9 x^{2} + 30 x + 25$ и $25 x^{2} - 49$ .

Решение. В первом трёхчлене $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ , $25 = 5^{2}$ , $30 x = 2 \cdot 3 x \cdot 5$ . Это полный квадрат суммы. Тот же результат даёт дискриминант: $D = 900 - 900 = 0$ , единственный корень $x_{0} = - \frac{30}{18} = - \frac{5}{3}$ , и $9 {(x + \frac{5}{3})}^{2} = (3 x + 5)^{2}$ .

Второе выражение — разность квадратов $(5 x)^{2} - 7^{2}$ .

Ответ: $9 x^{2} + 30 x + 25 = (3 x + 5)^{2}$ ; $25 x^{2} - 49 = (5 x - 7) (5 x + 7)$ .

Как разложить квадратное уравнение на множители и решить его

Раскладывают не само уравнение, а его левую часть, после того как в правой остался ноль. Порядок действий такой.

Перенести все слагаемые в одну часть и привести уравнение к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ .
Разложить левую часть на множители любым подходящим способом.
Применить правило произведения, равного нулю: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Решить полученные линейные уравнения.

Условие. Решить уравнение $2 x^{2} = 3 x + 2$ .

Решение. Переносим слагаемые: $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ . AC-метод: $a c = - 4$ , $b = - 3$ , подходят числа $- 4$ и $1$ :

2 x^{2} - 4 x + x - 2 = 2 x (x - 2) + (x - 2) = (x - 2) (2 x + 1) = 0 .

Произведение равно нулю, значит, $x - 2 = 0$ или $2 x + 1 = 0$ .

Ответ: $x = 2$ , $x = - \frac{1}{2}$ .

Проверить корни можно подстановкой: при $x = 2$ получаем $8 = 8$ , при $x = - \frac{1}{2}$ получаем $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .

Разложение особенно полезно для неполных уравнений. В уравнении $x^{2} = 5 x$ нельзя делить обе части на $x$ : так теряется корень $x = 0$ . Правильный путь — $x^{2} - 5 x = 0$ , затем $x (x - 5) = 0$ , откуда $x = 0$ или $x = 5$ .

Проверка результата и типичные ошибки

Самая надёжная проверка — раскрыть скобки. Если произведение совпало с исходным трёхчленом по всем трём коэффициентам, разложение верно. Расхождение обычно указывает на конкретную ошибку: другой $x^{2}$ означает потерянный старший коэффициент, другой знак при $x$ — перепутанные знаки корней.

Знаки удобно проверять по свободному члену. В записи $(x + p) (x + q)$ произведение $p q$ равно свободному члену, а сумма $p + q$ — коэффициенту при $x$ . Если свободный член положителен, знаки в скобках одинаковые и совпадают со знаком второго коэффициента. Если отрицателен, знаки разные.

Потеря старшего коэффициента. Трёхчлен $2 x^{2} - 3 x - 2$ записывают как $(x - 2) (x + \frac{1}{2})$ . Ошибка возникает, потому что формулу запоминают в упрощённом виде $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ , верном только при $a = 1$ . Раскрытие скобок даёт $x^{2} - 1, 5 x - 1$ , то есть результат вдвое меньше нужного. Правильно писать $2 (x - 2) (x + \frac{1}{2}) = (x - 2) (2 x + 1)$ , а коэффициент $a$ вносить только в одну скобку.

Двойной учёт коэффициента. Встречается и обратная ошибка: $a$ вносят в обе скобки и получают $(2 x - 4) (2 x + 1)$ . Это произведение равно $2 (2 x^{2} - 3 x - 2)$ , то есть в $a$ раз больше нужного.

Неверный знак суммы корней в теореме Виета. Для $x^{2} + p x + q$ сумма корней равна $- p$ , а не $p$ . Ошибка появляется, когда теорему вспоминают по аналогии с произведением, которое действительно равно $q$ . Безопаснее проверять подобранную пару подстановкой в трёхчлен или раскрытием скобок.

Теорема Виета для неприведённого трёхчлена. При $a \neq 1$ сумма и произведение корней равны $- \frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$ , а не $- b$ и $c$ . Если делить на $a$ неудобно, лучше перейти к AC-методу или дискриминанту.

Подбор корней при отрицательном дискриминанте. Если подходящая пара не находится, это может означать, что действительных корней нет. Например, для $x^{2} + 2 x + 5$ имеем $D = 4 - 20 = - 16 < 0$ . Перед долгим подбором стоит вычислить $D$ .

Ошибки в вычислении дискриминанта. Чаще всего путают знаки: $(- 3)^{2} = 9$ , а не $- 9$ . Кроме того, при отрицательном $c$ слагаемое $- 4 a c$ становится положительным. Вычисление стоит записывать по шагам, сохраняя скобки вокруг отрицательных коэффициентов: $D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25$ .