Квадрат суммы — это сумма двух выражений, возведённая во вторую степень, (a + b)², а квадрат разности — разность двух выражений во второй степени, (a − b)²; обе раскрываются по формулам сокращённого умножения, то есть тождествам, которые сразу дают результат умножения без поэлементного перемножения скобок: (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a − b)² = a² − 2ab + b². Выражения a + b и a − b являются двучленами, то есть многочленами из двух одночленов, а многочлен — это сумма одночленов, поэтому возведение двучлена в квадрат позволяет записать результат в виде многочлена, обычно из трёх членов. Словами формулы звучат так: квадрат первого выражения, плюс или минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.
Как вывести формулы квадрата суммы и разности
Обе формулы получаются из определения степени и правила умножения многочлена на многочлен. Возвести выражение в квадрат значит умножить его само на себя, поэтому запоминать формулы вслепую не нужно: их всегда можно восстановить за пару строк.
Квадрат суммы: умножение двучлена на себя
Запишем квадрат как произведение двух одинаковых скобок и умножим каждый член первой скобки на каждый член второй:
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b².
Слагаемые ab и ba равны, потому что умножение переместительно. После приведения подобных членов получается формула квадрата суммы:
(a + b)² = a² + 2ab + b².
Среднее слагаемое 2ab называют удвоенным произведением. Именно его чаще всего теряют, записывая (a + b)² = a² + b². Проверка на числах сразу показывает ошибку: (2 + 3)² = 5² = 25, тогда как 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Разница 12 и есть удвоенное произведение 2 · 2 · 3.
Формула верна для любых выражений на месте a и b: чисел, переменных, одночленов с коэффициентами, многочленов. Это и делает её формулой сокращённого умножения: вместо четырёх произведений и приведения подобных достаточно сразу записать три слагаемых.
Квадрат разности: откуда берётся минус перед удвоенным произведением
Действуем так же, но следим за знаками:
(a − b)² = (a − b)(a − b) = a · a − a · b − b · a + b · b = a² − ab − ab + b².
Два произведения ab входят со знаком минус, потому что в каждом из них один множитель положителен, а другой отрицателен. Произведение (−b) · (−b) даёт плюс. В итоге формула квадрата разности выглядит так:
(a − b)² = a² − 2ab + b².
Тот же результат получается из квадрата суммы, если записать разность как сумму с противоположным числом: a − b = a + (−b). Тогда
(a + (−b))² = a² + 2a(−b) + (−b)² = a² − 2ab + b².
Отсюда видно, что минус стоит только перед удвоенным произведением. Квадраты a² и b² всегда положительны, какими бы ни были знаки самих выражений.
Из формулы следует ещё одно полезное равенство: (a − b)² = (b − a)². Выражения a − b и b − a отличаются только знаком, а при возведении в квадрат знак исчезает.
Как применять формулы при раскрытии скобок
Порядок действий одинаков для обеих формул:
- Определить, что в скобке играет роль первого выражения a, а что — второго выражения b.
- Возвести в квадрат первое выражение.
- Найти удвоенное произведение 2ab и поставить перед ним знак, совпадающий со знаком внутри скобки.
- Возвести в квадрат второе выражение.
Если a или b содержат коэффициент или степень, их нужно возводить в квадрат целиком, вместе с коэффициентом.
Примеры с суммой: числа, переменные и коэффициенты
Пример 1. Вычислить 51² без столбика.
Решение. Представим 51 как 50 + 1: (50 + 1)² = 50² + 2 · 50 · 1 + 1² = 2500 + 100 + 1.
Ответ: 2601.
Пример 2. Раскрыть скобки: (x + 4)².
Решение. Здесь a = x, b = 4: x² + 2 · x · 4 + 4² = x² + 8x + 16.
Ответ: x² + 8x + 16.
Пример 3. Раскрыть скобки: (3a + 2b)².
Решение. Первое выражение 3a, второе 2b. Квадрат первого: (3a)² = 9a². Удвоенное произведение: 2 · 3a · 2b = 12ab. Квадрат второго: (2b)² = 4b².
Ответ: 9a² + 12ab + 4b².
Типичная ошибка в таком примере — записать 3a² вместо 9a². Она возникает, когда степень относят только к переменной. Скобка (3a)² означает 3a · 3a, поэтому в квадрат возводится и коэффициент.
Пример 4. Раскрыть скобки: (2x² + 1)².
Решение. Квадрат первого: (2x²)² = 4x⁴. Удвоенное произведение: 2 · 2x² · 1 = 4x². Квадрат второго: 1² = 1.
Ответ: 4x⁴ + 4x² + 1.
Если оба слагаемых отрицательны, как в (−a − b)², можно вынести минус: −a − b = −(a + b). Квадрат отрицательного числа положителен, поэтому (−a − b)² = (a + b)² = a² + 2ab + b².
Примеры с разностью: знаки и составные выражения
Пример 1. Вычислить 99².
Решение. 99 = 100 − 1, поэтому (100 − 1)² = 10 000 − 2 · 100 · 1 + 1 = 10 000 − 200 + 1.
Ответ: 9801.
Пример 2. Раскрыть скобки: (y − 5)².
Решение. y² − 2 · y · 5 + 5² = y² − 10y + 25.
Ответ: y² − 10y + 25.
Частая ошибка — записать в конце −25. Последнее слагаемое — квадрат числа 5, а не произведение 5 на −5, поэтому оно всегда положительно.
Пример 3. Раскрыть скобки: (4m − 3n)².
Решение. (4m)² − 2 · 4m · 3n + (3n)² = 16m² − 24mn + 9n².
Ответ: 16m² − 24mn + 9n².
Пример 4. Раскрыть скобки: (−2x + 7)².
Решение. Переставим слагаемые: −2x + 7 = 7 − 2x. Получаем квадрат разности: 7² − 2 · 7 · 2x + (2x)² = 49 − 28x + 4x².
Ответ: 4x² − 28x + 49.
Пример 5. Раскрыть скобки: (a + b − c)².
Решение. Формула работает и тогда, когда одно из выражений само является двучленом. Сгруппируем: ((a + b) − c)². Первое выражение a + b, второе c:
(a + b)² − 2(a + b)c + c² = a² + 2ab + b² − 2ac − 2bc + c².
Ответ: a² + b² + c² + 2ab − 2ac − 2bc.
Пример 6. Упростить выражение (x − 3)² − (x + 3)².
Решение. Раскроем оба квадрата: (x² − 6x + 9) − (x² + 6x + 9). Перед второй скобкой стоит минус, поэтому все её знаки меняются: x² − 6x + 9 − x² − 6x − 9 = −12x.
Ответ: −12x.
Здесь важно сначала раскрыть квадрат в скобках и только потом убирать скобку со знаком минус. Если пропустить промежуточные скобки, легко ошибиться в знаке последнего слагаемого.
Обратное применение: как распознать полный квадрат и разложить многочлен на множители
Формулы читаются и справа налево: a² + 2ab + b² = (a + b)² и a² − 2ab + b² = (a − b)². Трёхчлен такого вида называют полным квадратом. Записать его как квадрат двучлена значит разложить многочлен на множители, ведь (a + b)² = (a + b)(a + b).
Чтобы распознать полный квадрат, проверяют три условия:
- Два члена являются квадратами некоторых выражений и входят со знаком плюс.
- Оставшийся член по модулю равен удвоенному произведению этих выражений.
- Знак этого члена определяет знак в скобке: плюс даёт квадрат суммы, минус — квадрат разности.
Пример 1. Разложить на множители x² + 10x + 25.
Решение. x² — квадрат x, 25 — квадрат 5. Удвоенное произведение: 2 · x · 5 = 10x, совпадает со средним членом, знак плюс.
Ответ: (x + 5)².
Пример 2. Разложить на множители 9y² − 12y + 4.
Решение. 9y² = (3y)², 4 = 2². Удвоенное произведение 2 · 3y · 2 = 12y, перед ним минус.
Ответ: (3y − 2)², что равно также (2 − 3y)².
Пример 3. Разложить на множители 4a² + 12ab + 9b².
Решение. 4a² = (2a)², 9b² = (3b)², 2 · 2a · 3b = 12ab.
Ответ: (2a + 3b)².
Пример 4. Является ли полным квадратом x² + 6x + 4.
Решение. Крайние члены — квадраты x и 2, но удвоенное произведение равно 2 · x · 2 = 4x, а не 6x. Условие 2 не выполнено.
Ответ: нет, это не полный квадрат.
Похожая ловушка — выражения вида a² + ab + b², где средний член не удвоен. Их называют неполным квадратом суммы, и свернуть их в (a + b)² нельзя.
Обратное применение упрощает и вычисления. Например, 37² + 2 · 37 · 13 + 13² = (37 + 13)² = 50² = 2500. Без формулы пришлось бы отдельно считать три слагаемых.
Если у квадратов стоят минусы, как в −x² + 8x − 16, сначала выносят −1 за скобки: −(x² − 8x + 16) = −(x − 4)². После этого трёхчлен в скобках проверяют по тем же трём условиям.