Способы разложения на множители: как разложить многочлен

Разложить многочлен на множители значит записать его в виде произведения нескольких многочленов или одночлена и многочлена, не меняя значения выражения. Многочлен — это сумма одночленов, например 3x² − 5x + 2. Само разложение является тождественным преобразованием, то есть заменой выражения другим, равным ему при любых значениях переменных. Основных приёмов четыре. Вынесение общего множителя за скобки отделяет множитель, который входит в каждое слагаемое. Группировка объединяет слагаемые так, чтобы у групп появилась общая скобка. Формулы сокращённого умножения позволяют сразу узнать в выражении готовое произведение, например разность квадратов. Комбинация приёмов означает последовательное применение нескольких способов к одному выражению, и именно так раскладывается большинство многочленов.

Вынесение общего множителя за скобки

Способ опирается на распределительный закон: ab + ac = a(b + c). Если каждое слагаемое содержит одинаковый множитель, его записывают перед скобкой. В скобке остаются частные от деления каждого слагаемого на этот множитель.

Обычно выносят наибольший общий множитель. Его числовая часть равна наибольшему общему делителю коэффициентов. Каждая переменная, которая есть во всех слагаемых, берётся в наименьшей из встречающихся степеней. Общим множителем может быть и многочлен: a(x − 2) + b(x − 2) = (x − 2)(a + b).

Условие. Разложите на множители 12x³y − 18x²y² + 6x²y.

Решение. Наибольший общий делитель чисел 12, 18 и 6 равен 6. Переменная x есть во всех слагаемых, наименьшая степень у неё вторая. Переменная y везде есть хотя бы в первой степени. Значит, общий множитель равен 6x²y. Делим на него каждое слагаемое:

• 12x³y : 6x²y = 2x;
• −18x²y² : 6x²y = −3y;
• 6x²y : 6x²y = 1.

Ответ: 12x³y − 18x²y² + 6x²y = 6x²y(2x − 3y + 1).

Третье слагаемое целиком совпадает с вынесенным множителем, поэтому на его месте в скобке остаётся 1, а не пустое место.

Разложение по формулам сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения обычно читают слева направо, раскрывая скобки. Для разложения их читают справа налево: если выражение совпадает с правой частью развёрнутого произведения, его можно сразу свернуть.

Главное здесь — увидеть, что именно играет роль a и b. Например, 9x² = (3x)², а 27 = 3³. Сумма квадратов a² + b² на множители с действительными коэффициентами не раскладывается. Не раскладываются и выражения a² − ab + b² и a² + ab + b² из формул суммы и разности кубов (их называют неполными квадратами).

Условие. Разложите на множители 16x⁴ − 81.

Решение. 16x⁴ = (4x²)², а 81 = 9². По формуле разности квадратов:

16x⁴ − 81 = (4x² − 9)(4x² + 9).

Первый множитель снова является разностью квадратов, так как 4x² = (2x)² и 9 = 3²:

4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3).

Второй множитель 4x² + 9 — сумма квадратов, дальше он не раскладывается.

Ответ: 16x⁴ − 81 = (2x − 3)(2x + 3)(4x² + 9).

Группировка слагаемых

Группировку применяют, когда общего множителя для всех слагаемых нет, но он есть у отдельных пар или групп. Слагаемые объединяют в группы, из каждой выносят свой общий множитель. Если в скобках получилось одно и то же выражение, его выносят как общий множитель уже для всего многочлена. Если скобки не совпали, слагаемые пробуют сгруппировать по-другому.

Условие. Разложите на множители 6xy − 9x − 4y + 6.

Решение. Объединим первые два и последние два слагаемых:

(6xy − 9x) + (−4y + 6).

Из первой группы выносим 3x: 3x(2y − 3). Из второй выносим −2, чтобы в скобке получилось то же выражение: −4y + 6 = −2(2y − 3). Знак внутри скобки меняется, потому что −2 · (−3) = 6.

Получаем 3x(2y − 3) − 2(2y − 3). Общий множитель (2y − 3) выносим за скобки.

Ответ: 6xy − 9x − 4y + 6 = (2y − 3)(3x − 2).

Разложение квадратного трёхчлена

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Для него есть общее правило. Если x₁ и x₂ — корни уравнения ax² + bx + c = 0, то

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Корни существуют, когда дискриминант D = b² − 4ac неотрицателен. При D = 0 корень один, и трёхчлен равен a(x − x₀)². При D < 0 действительных корней нет, и трёхчлен не раскладывается на множители первой степени с действительными коэффициентами.

Подбор множителей или разложение через корни

Если старший коэффициент равен 1, корни часто удобно подобрать по теореме Виета: для x² + px + q их сумма равна −p, а произведение равно q. Например, для x² − 5x + 6 нужны числа с суммой 5 и произведением 6. Это 2 и 3, поэтому x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Когда подобрать корни трудно или a ≠ 1, их находят через дискриминант.

Условие. Разложите на множители 2x² − 7x + 3.

Решение. Здесь a = 2, b = −7, c = 3.

D = (−7)² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25.

x₁ = (7 + 5) / 4 = 3, x₂ = (7 − 5) / 4 = 1/2.

По формуле: 2x² − 7x + 3 = 2(x − 3)(x − 1/2). Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель 2 на скобку (x − 1/2): получим 2x − 1.

Ответ: 2x² − 7x + 3 = (x − 3)(2x − 1).

Старший коэффициент a нельзя терять. Запись (x − 3)(x − 1/2) даёт трёхчлен x² − 3,5x + 1,5, а не исходный.

Выделение полного квадрата

Этот приём обходится без формулы корней. Из x² и слагаемого с x составляют квадрат суммы или разности, недостающее число добавляют и вычитают. Если после этого получилась разность квадратов, её раскладывают по формуле.

Условие. Разложите на множители x² + 6x + 5.

Решение. Слагаемое 6x равно 2 · x · 3, поэтому для полного квадрата нужно 3² = 9:

x² + 6x + 5 = x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4.

Так как 4 = 2², это разность квадратов:

(x + 3)² − 2² = (x + 3 − 2)(x + 3 + 2) = (x + 1)(x + 5).

Ответ: x² + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5).

Если после выделения полного квадрата получается сумма квадрата и положительного числа, например x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, трёхчлен на множители с действительными коэффициентами не раскладывается. Это тот же случай, что и D < 0.

Как выбрать и сочетать способы

Каждый способ сам по себе прост. Трудность обычно в том, чтобы понять, с чего начать, и не остановиться раньше времени. Большинство выражений раскладывается за несколько шагов. Например, сначала выносят общий множитель, а в скобке остаётся разность квадратов или квадратный трёхчлен. Удобнее всего действовать по одному и тому же порядку и после каждого шага смотреть на полученные множители заново.

Порядок действий, если способ не очевиден

1. Вынесите общий множитель, если он есть. Если старший коэффициент отрицательный, удобно вынести и знак минус.
2. Посчитайте слагаемые в оставшемся выражении:

• два слагаемых — проверьте разность квадратов, сумму или разность кубов;
• три слагаемых — проверьте квадрат суммы или разности, затем разложите как квадратный трёхчлен;
• четыре слагаемых и больше — попробуйте группировку, в том числе такую, после которой появляется формула сокращённого умножения.

3. Если выражение содержит только x⁴ и x² (или другие степени, кратные одной), введите замену, например t = x², и разложите трёхчлен относительно t.
4. Проверьте каждый полученный множитель: можно ли разложить его дальше.
5. Раскройте скобки и убедитесь, что получился исходный многочлен.

Пошаговые примеры с несколькими приёмами

Пример 1. Вынесение множителя и разность квадратов.

Условие. Разложите на множители 3x³ − 12x.

Решение. Общий множитель 3x: 3x³ − 12x = 3x(x² − 4). В скобке разность квадратов: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).

Ответ: 3x(x − 2)(x + 2).

Пример 2. Вынесение минуса и квадрат разности.

Условие. Разложите на множители −2x³ + 8x² − 8x.

Решение. Вынесем −2x: −2x³ + 8x² − 8x = −2x(x² − 4x + 4). В скобке квадрат разности: x² − 2 · x · 2 + 2² = (x − 2)².

Ответ: −2x(x − 2)².

Пример 3. Группировка, вынесение общей скобки и разность квадратов.

Условие. Разложите на множители x³ + 2x² − 9x − 18.

Решение. Сгруппируем: (x³ + 2x²) + (−9x − 18) = x²(x + 2) − 9(x + 2). Вынесем общую скобку: (x + 2)(x² − 9). Разложим разность квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

Ответ: (x + 2)(x − 3)(x + 3).

Пример 4. Группировка с формулой квадрата разности.

Условие. Разложите на множители a² − 2ab + b² − 25.

Решение. Попарная группировка здесь не помогает. Зато первые три слагаемых образуют квадрат разности: a² − 2ab + b² = (a − b)². Выражение принимает вид (a − b)² − 5², то есть становится разностью квадратов:

(a − b − 5)(a − b + 5).

Ответ: (a − b − 5)(a − b + 5).

Пример 5. Замена переменной, квадратный трёхчлен и разность квадратов.

Условие. Разложите на множители x⁴ − 5x² + 4.

Решение. Пусть t = x². Получим t² − 5t + 4. По теореме Виета корни равны 1 и 4 (сумма 5, произведение 4), поэтому t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4). Возвращаемся к x: (x² − 1)(x² − 4). Оба множителя являются разностями квадратов.

Ответ: (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2).

Как проверить разложение и избежать ошибок

Надёжная проверка — обратное раскрытие скобок. Если после перемножения получился исходный многочлен, разложение верно. Проверим ответ примера 3:

(x − 3)(x + 3) = x² − 9;

(x + 2)(x² − 9) = x³ − 9x + 2x² − 18 = x³ + 2x² − 9x − 18.

Совпадение с условием полное. Быстрая дополнительная проверка — подставить одно число в обе записи. При x = 1 исходный многочлен равен 1 + 2 − 9 − 18 = −24, а произведение равно 3 · (−2) · 4 = −24. Подстановка помогает найти ошибку, но не доказывает правильность: значения могут случайно совпасть при одном x. Окончательный вывод дают только раскрытые скобки.

Ошибка со знаками при вынесении минуса.

• В чём ошибка: −4y + 6 записывают как −2(2y + 3).
• Почему возникает: минус выносят только из первого слагаемого и забывают, что он меняет знаки всех слагаемых в скобке.
• Как правильно: −4y + 6 = −2(2y − 3). Мысленно умножьте −2 на каждое слагаемое в скобке и сравните с исходными.

Потеря единицы при вынесении.

• В чём ошибка: x³ + x записывают как x · x².
• Почему возникает: слагаемое x полностью уходит за скобку, и кажется, что от него ничего не осталось.
• Как правильно: x : x = 1, поэтому x³ + x = x(x² + 1). Число слагаемых в скобке всегда равно числу слагаемых в исходном многочлене.

Неполное разложение.

• В чём ошибка: 2x³ − 8x оставляют в виде 2x(x² − 4).
• Почему возникает: после первого удачного шага работу считают законченной.
• Как правильно: проверьте каждый множитель. x² − 4 — разность квадратов, поэтому полный ответ 2x(x − 2)(x + 2). Остановиться можно, когда множители больше не раскладываются, например когда осталась сумма квадратов x² + 9 или квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом.

Путаница квадрата разности и разности квадратов.

• В чём ошибка: a² − b² записывают как (a − b)².
• Почему возникает: формулы похожи по названию и набору букв.
• Как правильно: (a − b)² = a² − 2ab + b², в нём три слагаемых. Разность квадратов состоит из двух слагаемых и равна (a − b)(a + b).