Многочлен — это сумма одночленов, а многочлен стандартного вида — сумма одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных членов, то есть одночленов с одинаковой буквенной частью, отличающихся только коэффициентом (числовым множителем). Степень одночлена равна сумме показателей степеней всех его переменных, а приведение подобных членов — это замена нескольких подобных одночленов одним, коэффициент которого равен сумме их коэффициентов. Чтобы преобразовать выражение в многочлен стандартного вида, его представляют как сумму одночленов, объединяют подобные члены и записывают результат, как правило, по убыванию степеней.
Что такое многочлен стандартного вида
Многочлен стандартного вида отвечает двум условиям: каждый его член является одночленом стандартного вида, и никакие два члена не подобны друг другу. Например, 4x³ − 2x + 7 записан в стандартном виде, а 4x³ − 2x + 3x + 7 нет: в нём есть подобные члены −2x и 3x.
Из каких частей состоит многочлен
Каждое слагаемое многочлена называют его членом. Член представляет собой одночлен: произведение чисел, переменных и их натуральных степеней. Отдельное число и отдельная переменная тоже считаются одночленами.
В многочлене 3a²b − 5ab + 8 три члена: 3a²b, −5ab и 8. Знак перед членом относится к нему самому, поэтому второй член равен −5ab, а не 5ab. Член без переменных, здесь 8, называют свободным членом.
Многочлен из двух членов называют двучленом, из трёх — трёхчленом, а одночлен рассматривают как частный случай многочлена из одного члена.
Как определить коэффициент и степень одночлена
Одночлен стандартного вида содержит один числовой множитель, стоящий на первом месте, и каждую переменную ровно один раз в виде степени. Выражение 2x·3y·x не стандартно, а равное ему 6x²y стандартно.
Коэффициент — это числовой множитель одночлена стандартного вида. У 6x²y коэффициент 6, у −a³ коэффициент −1, у ab коэффициент 1. Единицу в записи не пишут, но при сложении подобных членов её нужно учитывать.
Степень одночлена находят как сумму показателей степеней всех переменных:
- у 6x²y степень 2 + 1 = 3;
- у −5a³b²c степень 3 + 2 + 1 = 6;
- у 7x степень 1;
- у ненулевого числа, например 8, степень 0.
Число 0 степени не имеет. Степень многочлена стандартного вида равна наибольшей из степеней его членов: у 3a²b − 5ab + 8 она равна 3.
В каком порядке записывают одночлены
Порядок слагаемых не меняет многочлен, поэтому строгое определение стандартного вида его не задаёт. На практике действует соглашение: члены записывают по убыванию степеней, а свободный член ставят в конце. Так проще сравнивать ответы и сразу видеть степень многочлена.
Для одной переменной правило однозначно: x⁴ − 3x² + x − 6. Для нескольких переменных встречаются два подхода. Можно упорядочить члены по общей степени одночлена, а можно по степени одной выбранной переменной. Например, 2a³b + a²b² − 4ab упорядочен по общей степени (4, 4, 2) и одновременно по убыванию степени a. Если в задании порядок не оговорён, допустим любой из этих вариантов.
Как привести выражение к стандартному виду
Приведение многочлена к стандартному виду выполняется в четыре шага. Не каждое выражение требует всех шагов: если скобок нет, первый пропускают.
Раскрыть скобки и выполнить умножение
Сначала выражение превращают в сумму одночленов без скобок. Для этого используют распределительный закон: каждый член одной скобки умножают на каждый член другой.
При раскрытии скобок важно следить за знаком перед ними:
- если перед скобкой стоит плюс, знаки членов внутри сохраняются: +(a − b) = a − b;
- если минус, знаки всех членов меняются: −(a − b) = −a + b;
- если перед скобкой стоит множитель, на него умножают каждый член: −3(x − 2) = −3x + 6.
Степень с показателем 2 раскрывают как произведение двух одинаковых скобок: (x + 2)² = (x + 2)(x + 2).
Привести одночлены к стандартному виду
После раскрытия скобок часть членов может оказаться записанной нестандартно, например 2a·3b·a. Числовые множители перемножают, а степени одной переменной объединяют, складывая показатели: 2a·3b·a = 6a²b.
Частая ошибка — сложить переменные вместо того, чтобы перемножить их: записать x·x как 2x. Она возникает из-за смешения умножения со сложением. Правильно: x·x = x², а x + x = 2x.
Найти и объединить подобные члены
Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть: те же переменные в тех же степенях. Одночлены 5x²y и −2x²y подобны, а 5x²y и 5xy² нет, хотя состоят из тех же букв.
Чтобы привести подобные члены, складывают их коэффициенты, а буквенную часть оставляют без изменений: 5x²y − 2x²y + x²y = (5 − 2 + 1)x²y = 4x²y.
Ошибка «x² + x² = x⁴» возникает, когда правило сложения коэффициентов путают с правилом умножения степеней. При сложении подобных членов показатели степеней не меняются: x² + x² = 2x².
Удобно отмечать каждую группу подобных членов своим способом, например подчёркиванием, и вычёркивать их по мере сложения. Так ни один член не потеряется.
Записать результат по убыванию степеней
Последний шаг — расположить полученные члены по принятому порядку. Если после сложения у какого-то члена коэффициент оказался равен нулю, этот член не записывают. Если сократились все члены, результатом будет многочлен 0.
Примеры приведения многочлена к стандартному виду
В каждом примере нужно представить в стандартном виде многочлен или выражение, которое сводится к многочлену.
Пример с подобными одночленами
Условие. Приведите к стандартному виду многочлен 5x² − 3x + 7 − 2x² + 4x − 9 + x³.
Решение. Скобок нет, все члены уже стандартны. Группируем подобные члены:
- с x³: только x³;
- с x²: 5x² − 2x² = 3x²;
- с x: −3x + 4x = x;
- свободные члены: 7 − 9 = −2.
Записываем по убыванию степеней.
Ответ: x³ + 3x² + x − 2.
Пример с раскрытием скобок
Условие. Преобразуйте выражение (2x − 3)(x + 4) − (x² − 5x + 1) в многочлен стандартного вида.
Решение. Перемножаем скобки: (2x − 3)(x + 4) = 2x² + 8x − 3x − 12 = 2x² + 5x − 12.
Раскрываем вторую скобку, меняя все знаки: −(x² − 5x + 1) = −x² + 5x − 1.
Складываем: 2x² + 5x − 12 − x² + 5x − 1. Подобные члены: 2x² − x² = x², 5x + 5x = 10x, −12 − 1 = −13.
Ответ: x² + 10x − 13.
Пример с несколькими переменными
Условие. Приведите к стандартному виду выражение 3a·2b·a² − 4ab·a² + 5ab² − 2b·3ab + a³b.
Решение. Сначала записываем каждый одночлен в стандартном виде:
- 3a·2b·a² = 6a³b;
- −4ab·a² = −4a³b;
- 5ab² остаётся без изменений;
- −2b·3ab = −6ab²;
- a³b остаётся без изменений.
Получаем 6a³b − 4a³b + 5ab² − 6ab² + a³b. Подобные члены с a³b: 6 − 4 + 1 = 3, то есть 3a³b. С ab²: 5 − 6 = −1, то есть −ab².
Степень 3a³b равна 4, степень −ab² равна 3, поэтому первым записываем 3a³b.
Ответ: 3a³b − ab².
Пример, в котором некоторые члены сокращаются полностью
Условие. Представьте выражение (x + 2)² − (x − 2)² в виде многочлена стандартного вида.
Решение. Раскрываем каждый квадрат как произведение:
- (x + 2)(x + 2) = x² + 2x + 2x + 4 = x² + 4x + 4;
- (x − 2)(x − 2) = x² − 2x − 2x + 4 = x² − 4x + 4.
Вычитаем, меняя знаки второго многочлена: x² + 4x + 4 − x² + 4x − 4. Члены x² и −x² дают 0, числа 4 и −4 тоже дают 0, остаётся 4x + 4x = 8x.
Ответ: 8x.
Нулевые члены в ответ не записывают. Результат 8x — одночлен, то есть многочлен из одного члена, и это полноценный ответ.
Как проверить полученный результат
Проверка занимает меньше времени, чем поиск ошибки в готовом решении, и выявляет большинство типичных промахов.
Проверить знаки и коэффициенты
Больше всего ошибок появляется при раскрытии скобок с минусом перед ними. Стоит вернуться к каждой такой скобке и убедиться, что знак сменился у всех её членов, а не только у первого. Во втором примере выше −(x² − 5x + 1) превращается в −x² + 5x − 1: если оставить −5x, ответ получится x² − 13, а не x² + 10x − 13.
Отдельно проверяют скрытые коэффициенты 1 и −1. В выражении 5ab² − 6ab² результат −ab² имеет коэффициент −1, и минус легко потерять.
Убедиться, что подобных членов не осталось
Нужно сравнить буквенные части всех членов ответа попарно. Если у двух членов совпадают переменные и их показатели, приведение не завершено. Заодно проверяют, что каждый член записан в стандартном виде: одна переменная не встречается в нём дважды, а числовой множитель только один.
Сравнить степень исходного и преобразованного выражений
Степень исходного выражения можно оценить заранее. При перемножении многочленов их степени складываются: произведение двух многочленов первой степени имеет степень 2. При сложении и вычитании степень результата не превышает наибольшей из степеней слагаемых.
Если степень ответа оказалась выше ожидаемой, в решении точно есть ошибка, чаще всего при умножении степеней. Если ниже, это возможно, но только когда старшие члены действительно сократились, как в примере с (x + 2)² − (x − 2)²: каждое слагаемое имеет степень 2, а результат 8x — степень 1, потому что x² и −x² взаимно уничтожились. В таком случае стоит отдельно перепроверить коэффициенты именно у старших членов.