Теорема Безу и схема Горнера: как найти остаток, корень и частное

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ (числа $a_{n}, \dots, a_{0}$ называют коэффициентами многочлена) на делитель вида $x - a$ равен значению $P (a)$ . Отсюда число $a$ является корнем многочлена, то есть обращает его в ноль, тогда и только тогда, когда остаток равен нулю. Схема Горнера позволяет разделить многочлен на $x - a$ с помощью таблицы: по коэффициентам делимого она за несколько умножений и сложений даёт остаток $r$ и коэффициенты частного от деления $Q (x)$ , то есть многочлена на одну степень ниже, для которого выполняется равенство $P (x) = (x - a) Q (x) + r$ . Теорема Безу показывает, чему равен остаток, а схема Горнера вычисляет его вместе с частным.

Что утверждает теорема Безу

Остаток при делении многочлена на $x - a$

Любой многочлен $P (x)$ можно разделить на двучлен $x - a$ с остатком:

P (x) = (x - a) Q (x) + r .

Степень остатка всегда меньше степени делителя. Делитель $x - a$ имеет первую степень, поэтому остаток $r$ имеет нулевую степень, то есть является числом. Теорема Безу уточняет, каким именно: $r = P (a)$ .

Например, при делении $x^{2} + 3 x - 1$ на $x - 2$ остаток равен $2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 = 9$ .

Почему значение $P (a)$ связано с остатком

Равенство $P (x) = (x - a) Q (x) + r$ верно при любом $x$ , поэтому в него можно подставить $x = a$ :

P (a) = (a - a) Q (a) + r = 0 \cdot Q (a) + r = r .

Первое слагаемое обнуляется, каким бы ни было частное. В этом и состоит доказательство теоремы. Оно опирается на два факта: деление с остатком существует, а остаток при делении на многочлен первой степени является числом.

У доказательства есть очевидное ограничение. Если делитель имеет степень 2 или выше, остаток может содержать $x$ , и одной подстановкой его уже не найти. Поэтому теорема Безу формулируется именно для делителя вида $x - a$ .

Связь нулевого остатка с корнем многочлена и линейным делителем

Из теоремы следует утверждение, на котором держится почти всё её практическое применение: число $a$ является корнем многочлена $P (x)$ тогда и только тогда, когда $P (x)$ делится на $x - a$ без остатка.

Обе стороны этого утверждения выражают одно и то же условие. Если $P (a) = 0$ , то остаток равен нулю и $P (x) = (x - a) Q (x)$ . Если же $P (x) = (x - a) Q (x)$ , то при $x = a$ первый множитель обращается в ноль, а вместе с ним и весь многочлен.

Двучлен $x - a$ называют линейным делителем, или линейным множителем. Каждый найденный корень даёт такой множитель, а каждый линейный множитель вида $x - a$ указывает на корень $a$ .

Как применять теорему Безу на практике

Вычисление остатка без выполнения деления

Когда нужен только остаток, делить уголком не обязательно. Достаточно подставить $a$ в многочлен.

Пусть $P (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 2 x - 5$ .

При делении на $x - 2$ : $P (2) = 16 - 24 + 4 - 5 = - 9$ . Остаток равен $- 9$ .
При делении на $x + 1$ делитель записывают как $x - (- 1)$ , поэтому подставляют $a = - 1$ : $P (- 1) = 1 + 3 - 2 - 5 = - 3$ . Остаток равен $- 3$ .

Если подстановка приводит к громоздким степеням, значение $P (a)$ удобнее вычислять по схеме Горнера. Результат будет тем же, но промежуточные числа окажутся меньше.

Проверка, является ли число корнем многочлена

Чтобы проверить, является ли число $a$ корнем, вычисляют $P (a)$ . Нулевое значение означает корень, любое другое означает, что число корнем не является.

Возьмём $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ :

$P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ , значит $x = 1$ является корнем;
$P (2) = 8 - 8 - 10 + 6 = - 4$ , значит $x = 2$ корнем не является.

Число $- 4$ при этом одновременно является остатком от деления $P (x)$ на $x - 2$ .

Определение линейного делителя по найденному корню

Если $a$ является корнем, многочлен делится на $x - a$ . Знак в делителе противоположен знаку корня:

корень $1$ даёт делитель $x - 1$ ;
корень $- 2$ даёт делитель $x + 2$ , потому что $x - (- 2) = x + 2$ .

Для многочлена $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ проверка $P (- 2) = - 8 - 8 + 10 + 6 = 0$ показывает, что на $x + 2$ он тоже делится нацело.

Схема Горнера: принцип и порядок действий

Схема Горнера записывает деление многочлена на $x - a$ в виде короткой таблицы. Она основана на представлении многочлена со вложенными скобками:

P (x) = (\dots ((a_{n} x + a_{n - 1}) x + a_{n - 2}) x + \dots) x + a_{0} .

При вычислении по этой записи значение многочлена степени $n$ получается за $n$ умножений и $n$ сложений, без возведения в степень. Промежуточные результаты вычислений совпадают с коэффициентами частного.

В запросах иногда встречается выражение «теорема Горнера». Отдельной теоремы с таким названием в школьном и вузовском курсе нет: речь идёт о методе, то есть о схеме Горнера. Её обоснованием служит равенство $P (x) = (x - a) Q (x) + r$ , а смысл последнего числа таблицы даёт теорема Безу. В зарубежной литературе тот же алгоритм часто называют правилом Руффини.

Как записать коэффициенты многочлена

Коэффициенты выписывают в первую строку таблицы по убыванию степеней, от старшей до свободного члена. Каждая степень от $n$ до $0$ должна быть представлена своим коэффициентом. Если какой-то степени в многочлене нет, на её место ставят ноль.

Для $P (x) = x^{4} - 3 x^{2} + x - 2$ строка коэффициентов выглядит так: $1, 0, - 3, 1, - 2$ . Ноль соответствует отсутствующему $x^{3}$ .

Слева от строки, в отдельной ячейке, записывают число $a$ из делителя $x - a$ .

Последовательность умножения и сложения

Вторую строку заполняют слева направо по одному правилу.

Старший коэффициент сносят без изменений: $b_{n - 1} = a_{n}$ .
Последнее полученное число умножают на $a$ .
К произведению прибавляют следующий коэффициент первой строки, а результат записывают под этим коэффициентом.
Шаги 2 и 3 повторяют до свободного члена включительно.

В общем виде: $b_{k - 1} = a_{k} + a \cdot b_{k}$ , а последнее число равно $r = a_{0} + a \cdot b_{0}$ .

Как получить остаток и коэффициенты частного от деления

Во второй строке оказывается $n + 1$ число. Последнее из них является остатком $r$ , и по теореме Безу оно равно $P (a)$ . Остальные $n$ чисел дают коэффициенты частного $Q (x)$ , степень которого равна $n - 1$ .

Например, при делении $x^{2} + 3 x - 1$ на $x - 2$ : сносим $1$ , затем $1 \cdot 2 + 3 = 5$ , затем $5 \cdot 2 - 1 = 9$ . Частное равно $x + 5$ , остаток равен $9$ . Это совпадает с подстановкой $P (2) = 9$ из первого раздела.

Как использовать теорему Безу и схему Горнера вместе

Поиск корня и деление многочлена на $x - a$

Теорема Безу сводит поиск корня к проверке $P (a) = 0$ , но не подсказывает, какие числа проверять. Для многочлена с целыми коэффициентами помогает известное следствие: если у него есть целый корень, этот корень является делителем свободного члена (при $a_{0} \neq 0$ ). Рациональный корень $\frac{p}{q}$ в несократимой записи возможен, только если $p$ делит свободный член, а $q$ делит старший коэффициент.

Удобнее всего проверять кандидатов сразу по схеме Горнера. Если последнее число таблицы равно нулю, корень найден, а деление на $x - a$ уже выполнено.

Пусть $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ . Кандидаты на целые корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . Проверка $a = 1$ :

	1	−2	−5	6
1	1	−1	−6	0

Остаток равен нулю, поэтому $P (x) = (x - 1) (x^{2} - x - 6)$ .

Разложение многочлена на множители

Каждый найденный корень отделяет от многочлена линейный множитель, а частное оказывается многочленом меньшей степени. Это частное раскладывают дальше. Квадратный трёхчлен можно разложить через дискриминант или подбором корней, многочлен более высокой степени снова обрабатывают по схеме Горнера.

В примере выше $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ , поэтому

x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x - 1) (x - 3) (x + 2) .

Многочлен с действительными коэффициентами не всегда раскладывается на линейные множители: например, у $x^{2} + 1$ нет действительных корней. В таком случае разложение заканчивается на неприводимом квадратном множителе.

Повторное применение схемы для многочлена меньшей степени

Деление можно продолжить и по схеме Горнера, взяв коэффициенты частного $1, - 1, - 6$ и следующего кандидата $a = 3$ :

	1	−1	−6
3	1	2	0

Получилось $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ , что совпадает с найденным разложением.

Повторное применение схемы помогает обнаружить кратный корень. Если после деления на $x - a$ частное снова делится на $x - a$ нацело, корень $a$ имеет кратность не меньше двух. Например, для $x^{3} - 3 x + 2$ число $1$ даёт нулевой остаток дважды: $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ .

Разобранные примеры

Пример нахождения остатка по теореме Безу

Условие. Найти остаток от деления $P (x) = 3 x^{5} - 2 x^{3} + x - 7$ на $x + 2$ .

Решение. Делитель записываем как $x - (- 2)$ , следовательно $a = - 2$ . Вычисляем значение многочлена:

P (- 2) = 3 \cdot (- 32) - 2 \cdot (- 8) + (- 2) - 7 = - 96 + 16 - 2 - 7 = - 89 .

Ответ: остаток равен $- 89$ .

Пример деления многочлена по схеме Горнера

Условие. Разделить $P (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x - 6$ на $x - 3$ .

Решение. В многочлене нет $x^{2}$ , поэтому строка коэффициентов: $2, - 7, 0, 5, - 6$ . Число $a = 3$ .

	2	−7	0	5	−6
3	2	−1	−3	−4	−18

Вычисления по шагам:

сносим $2$ ;
$2 \cdot 3 - 7 = - 1$ ;
$- 1 \cdot 3 + 0 = - 3$ ;
$- 3 \cdot 3 + 5 = - 4$ ;
$- 4 \cdot 3 - 6 = - 18$ .

Первые четыре числа образуют коэффициенты частного третьей степени, последнее является остатком. Контроль по теореме Безу: $P (3) = 162 - 189 + 15 - 6 = - 18$ .

Ответ: $Q (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 3 x - 4$ , $r = - 18$ .

Пример проверки результата умножением делителя на частное с добавлением остатка

Условие. Проверить результат предыдущего примера, то есть убедиться, что $(x - 3) (2 x^{3} - x^{2} - 3 x - 4) + (- 18) = 2 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x - 6$ .

Решение. Раскрываем скобки:

x \cdot (2 x^{3} - x^{2} - 3 x - 4) = 2 x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} - 4 x,

- 3 \cdot (2 x^{3} - x^{2} - 3 x - 4) = - 6 x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 12 .

Складываем: $2 x^{4} - 7 x^{3} + 0 \cdot x^{2} + 5 x + 12$ . Добавляем остаток: $12 - 18 = - 6$ . Получаем $2 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x - 6$ , то есть исходный многочлен.

Ответ: деление выполнено верно.

Типичные ошибки при применении методов

Неверный знак в делителе $x - a$ и в схеме Горнера

В чём ошибка. При делении на $x + 2$ в схему или в подстановку ставят $2$ вместо $- 2$ .

Почему она возникает. Число берут из записи делителя «как видно», не приводя его к виду $x - a$ .

Как действовать правильно. Сначала переписать делитель: $x + 2 = x - (- 2)$ , и только потом выбрать $a = - 2$ . Знак $a$ всегда противоположен знаку числа в записи $x \pm c$ .

Пропуск нулевых коэффициентов при отсутствующих степенях

В чём ошибка. Для $2 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x - 6$ записывают строку $2, - 7, 5, - 6$ .

Почему она возникает. Отсутствующее слагаемое $0 \cdot x^{2}$ в записи многочлена не видно, и его забывают.

Как действовать правильно. Перед составлением таблицы проверить, что количество коэффициентов равно степени многочлена плюс один. Для четвёртой степени их должно быть пять: $2, - 7, 0, 5, - 6$ . Без нуля таблица фактически описывает другой многочлен, $2 x^{3} - 7 x^{2} + 5 x - 6$ .

Ошибочное включение остатка в частное

В чём ошибка. Все числа второй строки считают коэффициентами частного, и частное получается той же степени, что и делимое.

Почему она возникает. Строка результата выглядит однородной, граница между частным и остатком в ней явно не отмечена.

Как действовать правильно. Помнить, что частное при делении на $x - a$ имеет степень на единицу меньше. Последнее число строки всегда является остатком, его удобно отделять чертой. Если остаток не равен нулю, ответ записывают в виде $P (x) = (x - a) Q (x) + r$ .

Поиск корней без проверки найденных значений

В чём ошибка. Делители свободного члена записывают в ответ как корни или делят многочлен на $x - a$ , не убедившись, что остаток равен нулю.

Почему она возникает. Следствие о делителях свободного члена дают только список кандидатов, а его ошибочно воспринимают как список корней. Кроме того, оно верно для целых корней многочлена с целыми коэффициентами, и его иногда применяют без этих условий.

Как действовать правильно. Каждый кандидат проверять подстановкой или по схеме Горнера и считать корнем только при нулевом остатке. Для многочлена со старшим коэффициентом, отличным от единицы, учитывать и дробных кандидатов $\frac{p}{q}$ . Итоговое разложение полезно проверить обратным умножением множителей.