Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить одночлен на каждое слагаемое многочлена и сложить полученные произведения: так работает распределительный закон умножения a(b + c) = ab + ac. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней (например, −5a²b); его коэффициент — числовой множитель в стандартном виде (у −5a²b это −5), а степень одночлена — сумма показателей всех переменных (у −5a²b она равна 2 + 1 = 3). Многочлен — это сумма одночленов, например 2x² − 3x + 7. Подобные слагаемые — члены с одинаковой буквенной частью, например 4x² и −x². Раскрытие скобок — замена выражения со скобками тождественно равным выражением без скобок. Примеры умножения одночлена на многочлен показывают, как распределительный закон превращает произведение в многочлен и как затем упрощать результат.
Правило умножения одночлена на многочлен
Произведение одночлена и многочлена всегда можно записать без скобок. Если a — одночлен, а b, c и d — члены многочлена, то:
a(b + c − d) = ab + ac − ad.
Порядок множителей роли не играет: (b + c − d)·a даёт тот же результат, потому что умножение переместительно.
Порядок действий такой:
- Умножить одночлен на первое слагаемое многочлена, затем на второе и так далее, не пропуская ни одного.
- В каждом произведении перемножить коэффициенты с учётом знаков, а степени с одинаковым основанием перемножить по правилу aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
- Записать полученные одночлены через знаки «плюс» и «минус», то есть раскрыть скобки.
- Если в выражении есть подобные слагаемые, привести их.
Удобно считать вычитание прибавлением противоположного числа: многочлен 3x − 4 — это сумма 3x + (−4). Тогда знак каждого члена становится частью его коэффициента, и правило знаков применяется автоматически: при умножении чисел с одинаковыми знаками результат положителен, с разными — отрицателен.
Результат умножения — многочлен. В 7 классе его принято записывать в стандартном виде: каждый член приведён к стандартному виду, подобных слагаемых нет, члены обычно упорядочены по убыванию степеней.
Примеры умножения одночлена на многочлен
Простой пример: умножение на каждое слагаемое
Условие. Выполните умножение 3x·(2x² + 5x + 4).
Решение. В многочлене три слагаемых, поэтому в ответе до упрощения тоже будет три члена.
- 3x·2x² = (3·2)·x¹⁺² = 6x³;
- 3x·5x = (3·5)·x¹⁺¹ = 15x²;
- 3x·4 = 12x.
Складываем произведения: 6x³ + 15x² + 12x. Подобных слагаемых нет, члены уже стоят по убыванию степеней.
Ответ: 6x³ + 15x² + 12x.
Пример с отрицательными слагаемыми и приведением подобных
Условие. Упростите выражение −3x(2x² − 5x + 1) + 4x(x² − 2).
Решение. Сначала раскроем первые скобки. Множитель −3x отрицателен, поэтому знак каждого члена в скобках меняется на противоположный:
- −3x·2x² = −6x³;
- −3x·(−5x) = 15x²;
- −3x·1 = −3x.
Получаем −6x³ + 15x² − 3x.
Теперь вторые скобки:
- 4x·x² = 4x³;
- 4x·(−2) = −8x.
Получаем 4x³ − 8x.
Запишем всё выражение без скобок: −6x³ + 15x² − 3x + 4x³ − 8x.
Подобные слагаемые здесь −6x³ и 4x³, а также −3x и −8x. Приводим их: −6x³ + 4x³ = −2x³, −3x − 8x = −11x. Член 15x² подобных не имеет.
Ответ: −2x³ + 15x² − 11x.
Как проверить результат и избежать ошибок
Пропуск слагаемого. Ошибка: 2x(3x − 1) = 6x² − 1. Она возникает, когда одночлен умножают только на первый член, а остальные переписывают без изменений. Правильно: 2x·3x − 2x·1 = 6x² − 2x. Простой контроль: до приведения подобных в результате должно быть столько же членов, сколько их было в скобках.
Неверный знак. Ошибка: −a(b − c) = −ab − ac. Обычно знак «минус» перед одночленом учитывают только у первого члена. Правильно: −a·b + (−a)·(−c) = −ab + ac. Если перед скобками стоит отрицательный множитель, знак меняется у каждого члена многочлена.
Ошибка с коэффициентами или степенями. Ошибка: 3x²·4x³ = 12x⁶ или 3x²·4x³ = 7x⁵. В первом случае показатели перемножены, во втором коэффициенты сложены. Правильно: коэффициенты перемножают, а показатели одинаковых переменных складывают: 3x²·4x³ = 12x⁵. Для проверки удобно помнить, что степень каждого произведения равна сумме степеней множителей: 2 + 3 = 5.
Проверка раскрытия скобок подстановкой. Подставьте в исходное выражение и в ответ одно и то же числовое значение переменной: у тождественно равных выражений значения совпадут. Проверим второй пример при x = 1:
- исходное выражение: −3·1·(2 − 5 + 1) + 4·1·(1 − 2) = −3·(−2) + 4·(−1) = 6 − 4 = 2;
- ответ: −2·1 + 15·1 − 11·1 = 2.
Значения совпали. Значение x = 1 удобно, но может скрыть ошибку в показателе степени, ведь 1² = 1³. Поэтому надёжнее проверить ещё при x = 2 или x = −1: при x = 2 исходное выражение равно −3·2·(8 − 10 + 1) + 4·2·(4 − 2) = 6 + 16 = 22, а ответ −16 + 60 − 22 = 22. Совпадение значений при одной подстановке не доказывает тождество, но несовпадение точно указывает на ошибку.