Переменная в математике и алгебре — это буква или другой символ, вместо которого можно подставлять разные числа, а переменная величина — величина, которая в условиях задачи принимает различные значения; конкретное число, подставленное вместо буквы, называют значением переменной. Из чисел, переменных и знаков действий составляют буквенное выражение, в котором постоянная величина и коэффициент (числовой множитель при переменной) остаются неизменными, а область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл. Например, в выражении 5x + 3 буква x меняет значение, число 5 служит коэффициентом, число 3 постоянно, а подставлять вместо x можно любое число.
Определение переменной и переменной величины
Переменная нужна, чтобы записывать числа, которые заранее не известны или могут быть разными. Вместо фразы «возьмём какое-нибудь число и умножим его на 2» достаточно написать 2x. Буква здесь не обозначает одно конкретное число: она замещает любое число из допустимого набора.
Переменная величина описывает реальную или математическую характеристику, которая меняется. Время в пути, температура воздуха, длина стороны квадрата в разных задачах принимают разные значения. Чтобы работать с такой величиной в вычислениях, её обозначают переменной: время буквой t, длину стороны буквой a. Так переменная становится способом записать изменяющуюся величину в виде математического выражения.
Чем переменная отличается от постоянной величины
Постоянная величина в рамках задачи или выражения сохраняет одно значение. Переменная может принимать разные значения.
Пусть автомобиль едет со скоростью 60 км/ч, и путь вычисляют по формуле s = 60t. Здесь скорость 60 постоянна, а время t и путь s переменны: при t = 1 путь равен 60 км, при t = 2 он равен 120 км.
Разделение зависит от условий. В одной задаче скорость фиксирована, в другой меняется вместе со временем. Поэтому постоянство или изменчивость — свойство величины в конкретной ситуации, а не самой буквы.
Особый случай составляют математические константы, например π ≈ 3,14 или e ≈ 2,72. Хотя они записываются буквами, это фиксированные числа, и переменными они не являются.
Как обозначают переменные в математике
Чаще всего переменные обозначают строчными латинскими буквами. Сложились устойчивые традиции:
- x, y, z обозначают неизвестные в уравнениях и аргументы функций;
- a, b, c используют для длин сторон, а также для коэффициентов и параметров;
- n, m, k обычно обозначают целые или натуральные числа;
- t часто обозначает время, v — скорость, s — путь;
- греческие буквы α, β, γ используют для углов.
Если однотипных переменных несколько, применяют индексы: x₁, x₂, x₃. Это не разные буквы, а пронумерованные значения одной природы, например корни уравнения.
Эти соглашения не обязательны. Буква может обозначать что угодно, если в условии сказано, какую величину она означает.
Значение переменной и область допустимых значений
У переменной нет одного фиксированного числа, но в каждом вычислении вместо неё стоит конкретное число. При этом подставлять можно не любые числа: некоторые из них делают выражение бессмысленным.
Что означает значение переменной
Значение переменной — это число, которое подставляют вместо буквы. Запись x = 4 означает, что в данном вычислении буква x заменяется числом 4.
Одна и та же переменная в разных вычислениях может иметь разные значения. В выражении x + 10 при x = 4 получается 14, при x = −3 получается 7. Само выражение не меняется, меняется только результат, потому что меняется значение переменной.
Как определить допустимые и недопустимые значения
Допустимое значение переменной — такое, при котором все действия в выражении выполнимы. Недопустимое значение приводит к действию, которое не определено. Для школьной алгебры основные ограничения такие:
- на ноль делить нельзя, поэтому знаменатель не должен равняться нулю;
- квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не определён, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Пример 1. Выражение 5 / (x − 3). Знаменатель обращается в ноль при x = 3. Область допустимых значений: все числа, кроме 3.
Пример 2. Выражение √(x + 2). Подкоренное выражение должно удовлетворять условию x + 2 ≥ 0, то есть x ≥ −2. Значение x = −5 недопустимо, значение x = 0 допустимо.
Пример 3. Выражение √x / (x − 4). Нужно учесть оба ограничения сразу: x ≥ 0 из-за корня и x ≠ 4 из-за знаменателя. Область допустимых значений: все неотрицательные числа, кроме 4.
Если в выражении нет деления на выражение с переменной и нет корней чётной степени, например 3x² − x + 7, область допустимых значений составляют все числа.
Ограничения могут следовать и из смысла задачи. Если n обозначает число учеников, оно может быть только натуральным, хотя с точки зрения арифметики формула допускает и дробные значения.
Буквенное выражение и его состав
Что такое переменная в алгебре, удобнее всего понять через буквенные выражения: именно в них переменные используются постоянно. Буквенное выражение (выражение с переменными) — это запись из чисел, букв, знаков действий и скобок, например 3a + 2b, 2(x + 5) или x² − 4x.
Выражение отличается от уравнения отсутствием знака равенства. Запись 2x + 1 является выражением: у неё можно найти значение. Запись 2x + 1 = 7 является уравнением: в нём требуется найти x.
Числа, переменные и математические операции
Буквенное выражение строится из трёх видов элементов:
- числа, значения которых известны: 2, −5, 0,3;
- переменные, значения которых могут меняться: x, a, b;
- знаки действий и скобки, которые показывают, что и в каком порядке делать с числами и переменными.
Знак умножения между числом и буквой или между буквами обычно не пишут: 3x означает 3 · x, ab означает a · b. Между двумя числами знак умножения опускать нельзя, иначе 3 · 5 превратится в 35.
Выражение 4(x − 1) + y читается так: из x вычли 1, результат умножили на 4 и прибавили y. Состав выражения определяет его смысл, поэтому одни и те же элементы в другом порядке или с другими скобками дают другое выражение.
Коэффициент и его роль в выражении
Коэффициент — это числовой множитель, стоящий перед буквенной частью. Он показывает, во сколько раз берётся переменная или произведение переменных.
| Выражение | Коэффициент |
|---|---|
| 7x | 7 |
| −2ab | −2 |
| x | 1 |
| −y | −1 |
| x / 4 | 1/4 |
Коэффициент 1 обычно не пишут, поэтому x означает 1 · x, а −y означает −1 · y.
От коэффициента зависит, как быстро меняется значение выражения при изменении переменной. В выражении 3x увеличение x на 1 увеличивает результат на 3, в выражении 10x на 10.
В более сложных задачах коэффициенты тоже обозначают буквами. В записи ax² + bx + c буквы a, b и c называют коэффициентами: в рамках конкретного выражения они фиксированы, а переменной служит x. Такие буквенные коэффициенты называют параметрами, и это пример того, что роль буквы задаётся условием, а не её видом.
Как найти значение выражения при заданном значении переменной
Чтобы найти значение выражения, вместо каждой переменной подставляют её значение и выполняют вычисления. Перед подстановкой стоит убедиться, что значение входит в область допустимых значений.
Подстановка значения и порядок вычислений
Действия выполняются в стандартном порядке:
- Действия в скобках.
- Возведение в степень.
- Умножение и деление слева направо.
- Сложение и вычитание слева направо.
Отрицательные числа и дроби при подстановке заключают в скобки. Это защищает от частой ошибки: (−2)² = 4, а −2² = −4, потому что во втором случае в квадрат возводится только 2.
Условие. Найдите значение выражения 2x² − 3x + 1 при x = −2.
Решение. Подставим −2 в скобках: 2 · (−2)² − 3 · (−2) + 1. Сначала степень: (−2)² = 4. Затем умножение: 2 · 4 = 8 и 3 · (−2) = −6. Получаем 8 − (−6) + 1 = 8 + 6 + 1.
Ответ: 15.
Выражения с несколькими переменными
Если переменных несколько, значение задают для каждой из них, и каждую букву заменяют своим числом. Значение выражения зависит от всего набора значений.
Условие. Найдите значение выражения 3a − 2b + ab при a = 2 и b = −1.
Решение. Подставим значения: 3 · 2 − 2 · (−1) + 2 · (−1). Вычислим произведения: 3 · 2 = 6, 2 · (−1) = −2, 2 · (−1) = −2. Получаем 6 − (−2) + (−2) = 6 + 2 − 2.
Ответ: 6.
Область допустимых значений для нескольких переменных тоже задаётся набором условий. Выражение (a + b) / (a − b) не имеет смысла при a = b, например при a = 3 и b = 3, хотя каждое из этих чисел по отдельности ничем не запрещено.
Где применяют переменные в математике
Переменные позволяют говорить не об одном случае, а сразу обо всех случаях определённого вида. На этом основаны алгебраические правила, формулы и уравнения.
Запись общих правил и зависимостей
Свойства действий справедливы для любых чисел, и переменные позволяют записать их кратко:
- переместительный закон сложения: a + b = b + a;
- распределительный закон: a(b + c) = ab + ac.
Через переменные удобно описывать целые классы чисел. Любое чётное число можно записать как 2n, любое нечётное как 2n + 1, где n целое. Например, при n = 7 получаем чётное 14 и нечётное 15.
Переменные описывают и зависимости между величинами. Запись P = 4a показывает, как периметр квадрата зависит от длины его стороны: изменение a сразу определяет изменение P.
Использование переменных в формулах и уравнениях
Формула связывает несколько переменных и позволяет найти одну из них, если известны остальные. Площадь прямоугольника S = ab при a = 5 см и b = 3 см равна 15 см². Из формулы пути s = vt можно выразить время t = s / v: при s = 120 км и v = 60 км/ч получаем t = 2 ч.
В уравнении переменная играет роль неизвестного. Требуется найти значения, при которых равенство становится верным.
Условие. Решите уравнение 2x + 5 = 17.
Решение. Перенесём 5 в правую часть: 2x = 17 − 5 = 12. Разделим обе части на коэффициент 2: x = 6. Проверка: 2 · 6 + 5 = 17, равенство верно.
Ответ: x = 6.
Разница в роли переменной здесь существенна. В выражении 2x + 5 буква x может принимать любое значение, и для каждого получается свой результат. В уравнении 2x + 5 = 17 подходит только одно значение, и задача состоит в том, чтобы его найти.