Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить её числитель на знаменатель. Обыкновенная дробь записывается в виде a/b: знаменатель b показывает, на сколько равных долей разделено целое, а числитель a показывает, сколько таких долей взято. Десятичная дробь записывает то же число по разрядам: целую часть, затем запятую, затем десятые, сотые, тысячные. В результате деления получается либо конечная десятичная дробь с ограниченным числом цифр после запятой (3/4 = 0,75), либо периодическая десятичная дробь. Периодическая дробь бесконечна, и в ней одна и та же группа цифр повторяется без конца (1/3 = 0,333… = 0,(3)). Какой из двух вариантов получится, зависит только от знаменателя дроби после сокращения.
Основной принцип перевода обыкновенной дроби в десятичную
Дробная черта означает деление. Запись 3/4 читается как «три, делённое на четыре», поэтому вопрос, как из обычной дроби сделать десятичную, сводится к вопросу, чему равно частное 3 : 4. Десятичная запись не создаёт новое число. Она по-другому показывает ту же величину: три четверти и семьдесят пять сотых обозначают одну и ту же часть целого.
Общий алгоритм выглядит так:
- Сократить дробь, если числитель и знаменатель имеют общий делитель. Это упрощает вычисления и позволяет заранее понять, будет ли результат конечным.
- Выбрать способ. Если знаменатель легко довести до 10, 100, 1000, удобно привести дробь к такому знаменателю. В остальных случаях делят числитель на знаменатель в столбик.
- Записать ответ с десятичной запятой. Если числитель больше знаменателя, слева от запятой окажется целая часть: 7/4 = 1,75.
Два способа перевода дроби
Деление числителя на знаменатель
Этот способ универсален и работает для любой дроби. Деление выполняют в столбик:
- Делят числитель на знаменатель нацело и записывают целую часть частного. Если числитель меньше знаменателя, целая часть равна 0.
- Ставят в частном запятую.
- К остатку приписывают ноль и делят полученное число на знаменатель. Найденная цифра становится следующей цифрой после запятой.
- Повторяют шаг 3 с новым остатком.
Приписывать ноль к остатку можно, потому что делимое представляют как число с нулями после запятой: 3 = 3,0 = 3,00. Каждый приписанный ноль соответствует переходу к следующему разряду: от целых к десятым, от десятых к сотым и так далее.
Деление заканчивается, когда остаток становится равным нулю. Тогда дробь конечная. Если остаток не обнуляется, нужно следить за остатками. Как только остаток повторил один из уже встречавшихся, дальше начнут повторяться и цифры частного. Группа цифр между двумя одинаковыми остатками и есть период. В российских учебниках его записывают в скобках: 0,(3), 0,1(6). Встречается и другая запись, с чертой над повторяющимися цифрами. Обе означают одно и то же.
Приведение знаменателя к степени десяти
Десятичная дробь по сути является обыкновенной дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Поэтому дробь можно расширить, то есть умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы получить такой знаменатель. По основному свойству дроби её значение при этом не меняется.
Например, 3/4: знаменатель 4 становится 100 при умножении на 25. Числитель умножают на то же число: 3 · 25 = 75. Получается 75/100, а сто́ящая в знаменателе степень десяти задаёт положение запятой: сколько нулей в знаменателе, столько цифр после запятой. Значит, 75/100 = 0,75. Если в числителе цифр меньше, чем нулей в знаменателе, недостающие разряды заполняют нулями слева: 7/1000 = 0,007.
Способ применим не всегда. Число 10 раскладывается на множители 2 · 5, поэтому любая степень десяти состоит только из двоек и пятёрок: 100 = 2² · 5², 1000 = 2³ · 5³. Знаменатель можно довести до степени десяти, только если в нём самом нет других простых множителей. Недостающие множители 2 или 5 дописывают так, чтобы двоек и пятёрок стало поровну. Например, 40 = 2³ · 5, не хватает двух пятёрок, поэтому дробь умножают на 25 и получают знаменатель 1000. Знаменатели 3, 6, 7 или 12 так привести нельзя: никакое умножение не уберёт из них множитель 3 или 7.
Как заранее определить вид результата
Когда получается конечная десятичная дробь
Несократимая дробь переводится в конечную десятичную тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя на простые множители есть только 2 и 5. Знаменатели 2, 4, 5, 8, 20, 25, 40, 50, 125 подходят под это условие. Знаменатели 3, 6, 14, 15 не подходят.
Условие напрямую связано со вторым способом. Если знаменатель состоит только из двоек и пятёрок, его можно дополнить до 10, 100 или 1000. Тогда дробь записывается с конечным числом знаков после запятой. Число этих знаков равно наибольшему из показателей степеней двойки и пятёрки в знаменателе. Для 3/40, где 40 = 2³ · 5, после запятой будет три цифры: 3/40 = 0,075.
Проверять условие нужно именно у сокращённой дроби. В дроби 6/15 знаменатель содержит тройку, но после сокращения получается 2/5, а это 0,4.
Когда получается периодическая десятичная дробь
Если в знаменателе несократимой дроби есть любой простой множитель, кроме 2 и 5 (например, 3, 7, 11, 13), десятичная запись будет бесконечной периодической. Конечной она быть не может: конечная десятичная дробь равна дроби со знаменателем 10ⁿ, а из такого знаменателя после сокращения не может получиться знаменатель с множителем 3 или 7.
Период неизбежен из-за остатков. При делении на b остаток всегда меньше b, то есть может принимать только значения от 1 до b − 1, если он не равен нулю. Поэтому самое большее через b − 1 шагов какой-то остаток повторится. После этого деление пойдёт по тому же кругу, и цифры частного начнут повторяться. Например, при делении на 7 возможны только шесть ненулевых остатков, и 1/7 = 0,(142857) имеет период из шести цифр.
Иногда период начинается не сразу после запятой. Так бывает, когда в знаменателе кроме «посторонних» множителей есть ещё 2 или 5: 1/6 = 0,1(6), где цифра 1 стоит до периода.
Примеры перевода обыкновенных дробей в десятичные
Пример 1. Приведение знаменателя к 100.
Условие: перевести 7/20 в десятичную дробь.
Решение: 20 = 2² · 5, знаменатель содержит только двойки и пятёрки, поэтому результат конечный. Чтобы получить 100 = 2² · 5², не хватает одной пятёрки. Умножаем числитель и знаменатель на 5: 7/20 = 35/100. В знаменателе два нуля, значит, после запятой две цифры: 0,35.
Проверка: 0,35 · 20 = 7, получился исходный числитель.
Ответ: 7/20 = 0,35.
Пример 2. Деление с конечным результатом.
Условие: перевести 5/8 в десятичную дробь.
Решение: 8 = 2³, результат будет конечным, с тремя цифрами после запятой. Делим 5 на 8 в столбик:
- 5 : 8 = 0, остаток 5. Записываем 0 и ставим запятую.
- Приписываем ноль: 50 : 8 = 6, остаток 2.
- 20 : 8 = 2, остаток 4.
- 40 : 8 = 5, остаток 0. Деление закончено.
Проверка: 0,625 · 8 = 5.
Ответ: 5/8 = 0,625.
Пример 3. Деление с периодической записью.
Условие: перевести 5/6 в десятичную дробь.
Решение: дробь несократима, 6 = 2 · 3. Множитель 3 означает, что запись будет периодической. Делим:
- 5 : 6 = 0, остаток 5. Записываем 0 и ставим запятую.
- 50 : 6 = 8, остаток 2.
- 20 : 6 = 3, остаток 2.
- Остаток 2 уже встречался на предыдущем шаге, поэтому дальше снова будет 20 : 6 = 3 с остатком 2, и так без конца.
Цифра 8 стоит до периода, а тройка повторяется: 0,8333… = 0,8(3).
Проверка: умножаем приближения на 6. Получаем 0,83 · 6 = 4,98 и 0,833 · 6 = 4,998. С каждой добавленной тройкой произведение приближается к 5, а разность сокращается в 10 раз. Это подтверждает, что бесконечная запись 0,8(3) точно равна 5/6.
Ответ: 5/6 = 0,8(3).
Частые ошибки при переводе дроби
Неверное изменение числителя при расширении дроби.
В чём ошибка: знаменатель доводят до 100, а числитель оставляют прежним или прибавляют к нему то же число. Так из 3/4 получают 3/100 или 28/100.
Почему возникает: внимание сосредоточено на «правильном» знаменателе, и о числителе забывают.
Как правильно: числитель и знаменатель умножают на одно и то же число. Для 3/4 множитель 25 даёт 75/100 = 0,75.
Пропуск сокращения перед определением вида десятичной записи.
В чём ошибка: увидев знаменатель 12 в дроби 3/12, делают вывод, что результат будет периодическим.
Почему возникает: признак с множителями 2 и 5 применяют к исходной дроби, хотя он верен только для несократимой.
Как правильно: сначала сократить. 3/12 = 1/4, а 1/4 = 0,25 — конечная дробь.
Ошибка в положении запятой при приведении знаменателя к степени десяти.
В чём ошибка: 3/40 = 75/1000 записывают как 0,75 вместо 0,075.
Почему возникает: цифры числителя переписывают сразу после запятой и не сверяют их количество с числом нулей в знаменателе.
Как правильно: после запятой должно стоять столько цифр, сколько нулей в знаменателе. Недостающие разряды заполняют нулями слева от цифр числителя: 75/1000 = 0,075.
Остановка деления после первого остатка без проверки, является ли запись периодической.
В чём ошибка: при делении 1 на 3 получают 0,3 с остатком 1 и записывают ответ 0,3.
Почему возникает: деление прерывают, когда кажется, что найдено «достаточно» цифр, и не смотрят на остаток.
Как правильно: продолжать деление, пока остаток не станет равен нулю или не повторится. У 1/3 остаток 1 повторяется на каждом шаге, поэтому точный ответ 0,(3). Запись 0,3 — лишь приближённое значение.