Что такое буквенное выражение

Буквенное выражение — это математическая запись, в которой кроме чисел, знаков арифметических действий и скобок есть буквы, например 3x + 7 или 2(a − 5). Буква в такой записи называется переменной: она обозначает число, которое может принимать разные значения. Чтобы получить числовое значение выражения, выполняют подстановку значения переменной, то есть записывают вместо буквы конкретное число, а затем выполняют арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Так, если в выражение 3x + 7 подставить x = 4, получится числовое выражение 3 · 4 + 7, а его значение равно 19.

Из чего состоит буквенное выражение

Переменная и числовые значения

Буква в выражении заменяет число, которое заранее не зафиксировано. Запись 3x + 7 описывает целое правило: «утроить число и прибавить 7». Пока значение x не указано, выражение задаёт только порядок вычислений, а не конкретный результат.

Одна и та же переменная может принимать разные значения. В одной задаче x = 4, в другой x = 10, в третьей x = −2. Сама запись при этом не меняется, меняется только число, которое в неё подставляют.

Важно различать три объекта:

• переменная — буква, например x;
• значение переменной — число, которое подставляют вместо буквы, например 4;
• значение выражения — число, которое получается после всех вычислений, например 19.

Числа в записи, которые не зависят от выбора переменной, остаются постоянными. В выражении 3x + 7 числа 3 и 7 одинаковы при любом x.

Арифметические действия и математическая запись

В буквенных выражениях используют те же действия, что и в числовых:

• сложение: a + 5;
• вычитание: b − 8;
• умножение: 4 · c;
• деление: m : 2.

Знак умножения между числом и буквой, между двумя буквами и перед скобкой обычно не пишут. Вместо 4 · c записывают 4c, вместо a · b — ab, вместо 3 · (x + 1) — 3(x + 1). Число в такой записи ставят перед буквами: правильно 4c, а не c4. Между двумя числами знак умножения опускать нельзя: запись 3 · 5 нельзя заменить на 35, потому что это другое число.

Порядок действий такой же, как в арифметике. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание слева направо. Скобки меняют этот порядок: в выражении 2a + 3 сначала умножают, а в выражении 2(a + 3) сначала складывают.

Как найти значение буквенного выражения

Пошаговый алгоритм

1. Запишите значение переменной, при котором нужно вычислить выражение. Например: a = 6.
2. Выполните подстановку: перепишите выражение, заменив каждую букву этим числом. Знак умножения, который был опущен, при подстановке нужно вернуть: 5a при a = 6 превращается в 5 · 6, а не в 56. Отрицательные числа подставляют в скобках.
3. Определите порядок действий с учётом скобок, умножения и деления.
4. Выполните вычисления и проверьте результат: пересчитайте каждое действие и убедитесь, что подстановка сделана во все места, где стояла буква.

Если в выражении несколько переменных, значение каждой подставляют вместо своей буквы. Например, выражение a + 2b при a = 3 и b = 5 даёт 3 + 2 · 5 = 13.

Примеры подстановки и вычисления

Пример 1. Выражение с одной переменной.

Условие: найдите значение выражения 3x + 7 при x = 4.

Решение: подставим 4 вместо x: 3 · 4 + 7. Сначала выполняем умножение: 3 · 4 = 12. Затем сложение: 12 + 7 = 19.

Ответ: 19.

Пример 2. Выражение со скобками и несколькими действиями.

Условие: найдите значение выражения 2(a − 5) + a : 3 при a = 9.

Решение: подставим 9 в оба места, где стоит a: 2(9 − 5) + 9 : 3. Действие в скобках: 9 − 5 = 4. Затем умножение и деление: 2 · 4 = 8, 9 : 3 = 3. Последнее действие — сложение: 8 + 3 = 11.

Ответ: 11.

Пример 3. Одно выражение при разных значениях переменной.

Результат зависит от того, какое число подставлено. Для выражения 3x + 7 это выглядит так:

Выражение одно и то же, а значений у него столько, сколько разных чисел можно подставить вместо переменной.

Как составляют и читают буквенные выражения

Чтение математической записи

Выражение читают по последнему действию, которое выполняется при вычислении:

• a + b — сумма a и b;
• a − b — разность a и b;
• ab — произведение a и b;
• a : b — частное a и b;
• 2(a + b) — произведение числа 2 и суммы a и b;
• 2a + b — сумма произведения 2 и a и числа b;
• (x − 3) : 4 — частное разности x и 3 и числа 4.

Записи 2(a + b) и 2a + b читаются по-разному, потому что в них разный порядок действий и разные результаты. При a = 1 и b = 3 первое выражение равно 8, второе — 5.

Числовой множитель, стоящий перед буквами в произведении, называют коэффициентом. В записи 5x коэффициент равен 5, в записи −3ab равен −3. Если перед буквой нет числа, коэффициент равен 1: x = 1 · x. Если перед буквой стоит только минус, коэффициент равен −1: −x = −1 · x.

Составление выражения по условию

Чтобы перевести словесное описание в математическую запись, неизвестную или меняющуюся величину обозначают буквой, а затем записывают действия в том порядке, в каком они описаны.

Пример. Одна тетрадь стоит a рублей, ручка стоит b рублей. Сколько стоят 3 тетради и одна ручка?

Три тетради стоят 3 · a = 3a рубля. Вместе с ручкой получится 3a + b рублей. Если a = 40 и b = 25, покупка обойдётся в 3 · 40 + 25 = 145 рублей.

Ещё несколько переводов:

• «число n, увеличенное на 12» — n + 12;
• «разность числа x и 8, умноженная на 2» — 2(x − 8);
• «половина суммы чисел a и b» — (a + b) : 2.

Буквенное выражение не обязано содержать знак равенства. Запись 3a + b — это выражение: она описывает, как вычислить величину. Запись 3a + b = 145 — уже равенство, а точнее уравнение: в нём утверждается, что выражение принимает конкретное значение. Выражение вычисляют или упрощают, уравнение решают.

Какие значения можно подставлять в выражение

Допустимость значения переменной зависит от того, какие действия записаны в выражении. Главное требование: после подстановки все указанные действия должны быть выполнимы.

В выражения со сложением, вычитанием и умножением, например 4x − 9 или a(b + 2), можно подставлять любые числа. Каждое из этих действий выполнимо для любых чисел.

С делением ситуация другая, потому что на ноль делить нельзя. Если переменная стоит в делителе, нужно исключить значения, при которых делитель становится равным нулю:

• в выражении 15 : a нельзя подставить a = 0;
• в выражении 12 : (x − 3) нельзя подставить x = 3, так как тогда x − 3 = 0;
• в выражении (y + 2) : 5 подходит любое y, потому что делитель 5 не равен нулю.

Значения, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменной. Если же выражение составлено по условию задачи, ограничения может добавлять и сам смысл задачи: количество тетрадей не бывает отрицательным или дробным, хотя формально подставить такое число в 3a + b можно.

Свойства действий, которые применяют к буквенным выражениям

Переместительное и сочетательное свойства

Переместительное свойство: от перестановки слагаемых сумма не меняется, от перестановки множителей произведение не меняется.

a + b = b + a, ab = ba

Сочетательное свойство: соседние слагаемые или множители можно группировать по-разному.

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)

Эти свойства позволяют собрать числа вместе и упростить запись:

• 7 + a + 13 = a + (7 + 13) = a + 20;
• 4 · x · 25 = (4 · 25) · x = 100x;
• 2a · 3b = (2 · 3) · ab = 6ab.

Для вычитания и деления переместительное свойство не выполняется: a − b и b − a, как и a : b и b : a, в общем случае дают разные результаты.

Распределительное свойство

Распределительное свойство связывает умножение со сложением и вычитанием:

a(b + c) = ab + ac, a(b − c) = ab − ac

Если применять его слева направо, получается раскрытие скобок: множитель перед скобкой умножают на каждое слагаемое внутри.

• 3(x + 4) = 3x + 12;
• 5(2a − 1) = 10a − 5.

Если применять его справа налево, получается вынесение общего множителя за скобки:

• 6m + 6n = 6(m + n);
• 4x − 8 = 4(x − 2).

На этом же свойстве основано приведение подобных слагаемых, то есть слагаемых с одинаковой буквенной частью: 7a + 3a = (7 + 3)a = 10a. Такое упрощение уменьшает число действий и облегчает последующее вычисление значения. Например, 7a + 3a при a = 2 удобнее считать как 10 · 2 = 20.

Типичные ошибки при работе с буквенными выражениями

Ошибки при подстановке и вычислении

Пропуск скобок при подстановке отрицательного числа.

В чём ошибка: при x = −2 выражение 5 − x записывают как 5 − −2 или считают 5 − 2 = 3.

Почему возникает: число подставляют без скобок, и минус числа сливается со знаком действия.

Как правильно: отрицательное значение всегда заключают в скобки: 5 − (−2) = 5 + 2 = 7. Так же 2x при x = −4 записывают как 2 · (−4) = −8.

Нарушение порядка действий.

В чём ошибка: значение 2 + 3a при a = 4 считают как (2 + 3) · 4 = 20.

Почему возникает: действия выполняют слева направо, не учитывая, что умножение имеет приоритет.

Как правильно: сначала умножение, затем сложение: 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14.

Ошибка в знаках при сложении или вычитании.

В чём ошибка: значение x − 8 при x = −2 получают равным 6 или −6.

Почему возникает: путают правила действий с отрицательными числами и вычитают модули вместо того, чтобы их сложить.

Как правильно: −2 − 8 = −(2 + 8) = −10. Полезно проверить результат по смыслу: если от отрицательного числа отнять положительное, результат станет ещё меньше.

Ошибки в записи и преобразовании

Сложение слагаемых с разными переменными как подобных.

В чём ошибка: записывают 2a + 3b = 5ab или 2a + 3b = 5a.

Почему возникает: коэффициенты складывают механически, не обращая внимания на буквенную часть.

Как правильно: складывать можно только подобные слагаемые с одинаковой буквенной частью. Выражение 2a + 3b не упрощается. Проверка подстановкой: при a = 1 и b = 1 выражение 2a + 3b равно 5, а 5ab тоже 5, но при a = 2 и b = 1 получается 7 и 10, значит, записи не равны.

Потеря коэффициента 1.

В чём ошибка: a + 4a записывают как 4a, а 3a − a — как 3.

Почему возникает: буква без числа воспринимается как слагаемое без коэффициента.

Как правильно: a = 1 · a, поэтому a + 4a = (1 + 4)a = 5a, а 3a − a = (3 − 1)a = 2a.

Неверное раскрытие скобок.

В чём ошибка: 3(x + 2) записывают как 3x + 2, а −(a − 4) — как −a − 4.

Почему возникает: множитель перед скобкой умножают только на первое слагаемое или не меняют знак у второго.

Как правильно: по распределительному свойству множитель умножают на каждое слагаемое в скобках: 3(x + 2) = 3x + 6. Минус перед скобкой означает умножение на −1, поэтому меняются знаки всех слагаемых: −(a − 4) = −a + 4.