Иррациональные числа

Иррациональное число — это действительное число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа и n ≠ 0. Рациональное число, наоборот, в таком виде представимо, а вместе они образуют множество действительных чисел. Любое иррациональное число записывается бесконечной непериодической десятичной дробью, то есть дробью, цифры которой никогда не начинают повторяться одним и тем же блоком: например, √2 = 1,41421356… Квадратный корень из неотрицательного числа a — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Корень из натурального числа, которое не является точным квадратом, всегда иррационален. Числовая прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и направлением, на которой каждому действительному числу соответствует ровно одна точка. Иррациональные числа занимают на ней собственные точки, в которые не попадает ни одна обыкновенная дробь.

Что такое иррациональные числа простыми словами

Если совсем коротко, это числа, которые невозможно точно записать дробью с целыми числителем и знаменателем. Их можно приближать сколь угодно точно: √2 ≈ 1,4, ≈ 1,41, ≈ 1,414 и так далее. Но ни одно такое приближение не совпадает с самим числом, потому что после любой цифры идут следующие, и закономерного повторения среди них нет.

Хороший способ почувствовать разницу — сравнить √2 с дробью 1,41 = 141/100. Квадрат этой дроби равен 1,9881, а не 2. Если взять 1,4142, получится 1,99996164, что ближе, но всё ещё не 2. Подобрать дробь, квадрат которой даст ровно 2, нельзя в принципе, и это строго доказывается.

Как распознать иррациональное число по записи

По десятичной записи числа делятся на три вида:

• конечная дробь, например 0,75 или 12,5, — число рациональное;
• бесконечная периодическая дробь, например 0,333… = 0,(3) или 2,1(45), — число рациональное;
• бесконечная непериодическая дробь — число иррациональное.

Здесь есть ограничение. По нескольким показанным цифрам вида нельзя определить: запись 3,14159… может обозначать и π, и рациональное число, у которого период начнётся позже. Вывод об иррациональности делают тогда, когда известно правило построения цифр. Например, у числа 0,1010010001…, где после каждой следующей единицы нулей становится на один больше, периода нет, поэтому оно иррационально.

Знак корня тоже сам по себе ничего не гарантирует. √9 = 3 и √(4/9) = 2/3 — числа рациональные, а √2 и √7 — иррациональные. Чтобы решить, нужно проверить, извлекается ли корень точно.

Почему бесконечная непериодическая дробь является иррациональной

Причина в том, как получается десятичная запись любой дроби m/n. При делении уголком на каждом шаге остаётся остаток от 0 до n − 1, то есть различных остатков не больше n. Если остаток стал равен нулю, деление закончилось и дробь конечная. Если нет, то рано или поздно какой-то остаток повторится, и с этого места цифры частного начнут повторяться тем же блоком.

Например, при делении 1 на 7 остатки идут в порядке 1, 3, 2, 6, 4, 5, затем снова 1, поэтому 1/7 = 0,(142857).

Значит, любое рациональное число даёт конечную или периодическую дробь. Если же дробь бесконечна и периода у неё нет, она не может получиться из деления целых чисел, то есть выражает иррациональное число. Верно и обратное: каждую периодическую дробь можно перевести в обыкновенную, как показано в разделе о доказательствах.

Чем иррациональные числа отличаются от рациональных

Представление в виде обыкновенной дроби

Любое рациональное число можно записать как m/n с целыми m и n, где n ≠ 0:

• 0,75 = 3/4;
• −5 = −5/1;
• 0,(3) = 1/3;
• 0 = 0/1.

Для иррационального числа такой записи не существует. Дроби 22/7 ≈ 3,142857 и 355/113 ≈ 3,1415929 — лишь приближения к π, а 1,41 и 1,414 — приближения к √2. Это главное, определяющее отличие, из которого следуют остальные.

Отличия десятичных записей

Конечную дробь иногда записывают как периодическую с периодом 0: 0,125 = 0,125(0). Поэтому иногда говорят ещё короче: рациональное число — это периодическая десятичная дробь, иррациональное — непериодическая.

Место на числовой прямой

На числовой прямой рациональные и иррациональные числа перемешаны очень плотно. Между любыми двумя различными числами найдутся бесконечно много и рациональных, и иррациональных. Между 1 и 2 лежат, например, рациональное 1,5 и иррациональное √2, а между 1,41 и 1,42 снова найдётся √2 и рациональное 1,415.

При этом одних рациональных чисел для заполнения прямой не хватает. Если отметить на ней только дроби, останутся точки, которым не соответствует ни одна из них, например точка на расстоянии √2 от нуля. Иррациональные числа закрывают эти пропуски, и вместе с рациональными они дают всю прямую без промежутков.

Примеры иррациональных чисел

Квадратные корни из чисел, не являющихся точными квадратами

Точный квадрат — это квадрат целого числа: 1, 4, 9, 16, 25 и так далее. Для натурального n действует правило: √n либо целое число, либо иррациональное. Промежуточного варианта в виде дроби не бывает.

Поэтому иррациональны:

• √2 ≈ 1,41421;
• √3 ≈ 1,73205;
• √5 ≈ 2,23607;
• √8 = 2√2 ≈ 2,82843;
• √10 ≈ 3,16228.

Похожее правило работает для корней других степеней: кубический корень ∛2 иррационален, потому что 2 не является кубом целого числа, а ∛27 = 3 рационален.

Числа π и e

Число π — отношение длины любой окружности к её диаметру: π = 3,14159265… Значения 3,14 и 22/7 из школьных задач — удобные приближения, а не точное значение.

Число e = 2,71828182… — основание натурального логарифма. Оно возникает как предел выражения (1 + 1/n)ⁿ при неограниченном росте n и встречается в задачах о непрерывном росте, например при расчёте сложных процентов с очень частым начислением.

Иррациональность обоих чисел строго доказана, но доказательства сложнее, чем для √2, и требуют методов математического анализа.

Примеры рациональных чисел для сравнения

Рядом с иррациональными полезно держать в голове типичные рациональные числа, чтобы не путать их по внешнему виду:

• 1/2 = 0,5 — конечная дробь;
• 2/3 = 0,(6) — бесконечная, но периодическая дробь;
• 5/11 = 0,(45) — период из двух цифр;
• −4 и 0 — целые числа, тоже рациональные;
• √16 = 4 — корень, который извлекается точно.

Бесконечность записи, знак корня или отрицательный знак сами по себе не делают число иррациональным.

Основные свойства и действия с иррациональными числами

Сложение и вычитание

Сумма рационального и иррационального числа всегда иррациональна. Доказательство короткое: если бы r + x = q, где r и q рациональны, то x = q − r тоже было бы рациональным. Поэтому 3 + √2, 1 − √2 и π − 1 — иррациональные числа.

Сумма двух иррациональных чисел может оказаться любой:

• √2 + √3 ≈ 3,146 — иррационально;
• √2 + (−√2) = 0 — рационально;
• (1 + √2) + (1 − √2) = 2 — рационально.

Разность ведёт себя так же: √5 − √5 = 0, а √5 − √2 иррационально.

Умножение и деление

Произведение ненулевого рационального числа на иррациональное иррационально: если r · x = q и r ≠ 0, то x = q / r было бы рациональным. Так, 2√3 и π/4 иррациональны. Единственное исключение — умножение на ноль: 0 · √2 = 0.

Для двух иррациональных множителей результат опять зависит от чисел:

• √2 · √3 = √6 — иррационально;
• √2 · √8 = √16 = 4 — рационально;
• √8 / √2 = √4 = 2 — рационально;
• √6 / √2 = √3 — иррационально.

Почему результат действия не всегда иррационален

Рациональные числа образуют замкнутое множество: сумма, разность, произведение и частное (при ненулевом делителе) двух рациональных чисел снова рациональны. У иррациональных чисел такого свойства нет. Иррациональные слагаемые или множители могут «компенсировать» друг друга, как √2 и −√2 или √3 и √12, произведение которых равно √36 = 6. Возведение в степень тоже может дать рациональный результат: (√2)² = 2.

Поэтому каждое выражение нужно проверять отдельно: упрощать корни, искать сокращения, приводить к известным числам. Иногда проверка оказывается очень трудной. Например, до сих пор не известно, рационально ли число π + e.

Как доказать, что число иррациональное

Доказательство иррациональности квадратного корня из 2

Классическое доказательство строится от противного: предполагаем, что число рационально, и приходим к противоречию.

1. Пусть √2 = m/n, где m и n — натуральные числа, а дробь несократима, то есть у m и n нет общих делителей, кроме 1.
2. Возведём обе части в квадрат: 2 = m²/n², откуда m² = 2n². Значит, m² чётно.
3. Квадрат нечётного числа нечётен, поэтому само m чётно: m = 2k.
4. Подставим: (2k)² = 2n², то есть 4k² = 2n² и n² = 2k². Значит, n² чётно, а вместе с ним чётно и n.
5. Получилось, что m и n оба делятся на 2, хотя дробь m/n считалась несократимой. Противоречие.

Вывод: √2 нельзя записать дробью, это иррациональное число.

Для √3 рассуждение такое же, только вместо чётности используется делимость на 3. Для √4 оно не проходит: 4 — точный квадрат, и √4 = 2/1.

Использование признаков рациональности и периодичности

Кроме доказательства от противного, помогают несколько признаков.

Периодичность означает рациональность. Любую периодическую дробь можно перевести в обыкновенную. Пусть x = 0,(36). Умножим на 100, так как в периоде две цифры: 100x = 36,(36). Вычтем исходное равенство: 99x = 36, откуда x = 36/99 = 4/11. Проверка: 4 : 11 = 0,3636… Значит, найти период — то же самое, что доказать рациональность.

Отсутствие периода означает иррациональность. Для числа 0,1010010001… предположим, что с какого-то места цифры повторяются с периодом длины T. Дальше в записи встретится блок из более чем T нулей подряд. Тогда весь период состоит из нулей, и после этого места не может быть ни одной единицы. Но единицы появляются снова и снова, значит, периода нет и число иррационально.

Сведение к известному иррациональному числу. Чтобы доказать, что 2√3 − 1 иррационально, предположим обратное: 2√3 − 1 = q, где q рационально. Тогда √3 = (q + 1)/2 тоже рационально, что неверно. Этот приём опирается на свойства действий, описанные выше.

Вычисления на калькуляторе доказательством не являются: любое количество цифр без периода не исключает, что период начнётся дальше.

Где встречаются иррациональные числа

Иррациональные длины в геометрии

Иррациональные длины возникают даже в самых простых фигурах:

• диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна √(1² + 1²) = √2;
• диагональ прямоугольника 1 × 2 равна √(1² + 2²) = √5;
• высота равностороннего треугольника со стороной 2 равна √(2² − 1²) = √3;
• диагональ куба с ребром 1 равна √(1² + 1² + 1²) = √3;
• длина окружности диаметром 1 равна π, и площадь круга радиусом 1 тоже равна π.

Из-за этого сторона и диагональ квадрата несоизмеримы: нет такого отрезка, который уложился бы целое число раз и в той, и в другой.

Иррациональные координаты на числовой прямой

Точку с иррациональной координатой можно построить точно, а не приблизительно. Для √2 на отрезке от 0 до 1 строят квадрат со стороной 1 и проводят его диагональ из точки 0. Затем циркулем с центром в 0 откладывают длину диагонали на прямой. Полученная точка имеет координату √2, а симметричная ей относительно нуля — координату −√2.

Точку √5 строят так же через прямоугольный треугольник с катетами 2 и 1, а из точки √2 можно продолжить построение: треугольник с катетами √2 и 1 даёт гипотенузу √3.

Чтобы понять, между какими числами лежит такая точка, используют приближения с недостатком и избытком. Поскольку 1,41² = 1,9881 < 2, а 1,42² = 2,0164 > 2, точка √2 находится между 1,41 и 1,42. Аналогично π лежит между 3,14 и 3,15. Уточняя приближения, можно зажать иррациональную точку в сколь угодно маленький промежуток, но совпасть с одним из его концов она не сможет.