Сумма и разность кубов: формулы и примеры применения

Сумма кубов — это выражение a³ + b³, которое раскладывается как a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), а разность кубов — выражение a³ − b³, которое раскладывается как a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Обе формулы относятся к формулам сокращённого умножения, то есть к готовым тождествам для быстрого умножения и преобразования многочленов. Их не путают с кубом двучлена (a + b)³ или (a − b)³, где в куб возводится вся сумма или разность. Формулы суммы и разности кубов используют для разложения на множители, то есть для записи многочлена в виде произведения, и для тождественных преобразований, при которых выражение заменяется равным ему при всех допустимых значениях переменных. Так упрощают выражения, сокращают алгебраические дроби и решают уравнения.

Формулы суммы и разности кубов

Обе формулы устроены одинаково: двучлен из кубов раскладывается на два множителя. Первый множитель — сумма или разность самих оснований a и b. Второй множитель — трёхчлен из квадратов оснований и их произведения. Различаются формулы только знаками.

Сумма кубов: множители и знаки во второй скобке

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Первый множитель a + b повторяет знак исходного выражения. Во второй скобке стоят квадрат первого основания, произведение оснований со знаком «минус» и квадрат второго основания. Трёхчлен a² − ab + b² называют неполным квадратом разности: в полном квадрате разности (a − b)² = a² − 2ab + b² средний член равен 2ab, а здесь удвоения нет.

Пример: x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4).

Здесь a = x, b = 2. Во второй скобке получаем x², затем −x · 2 = −2x и 2² = 4.

Разность кубов: множители и знаки во второй скобке

Формула разности кубов:

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Первый множитель снова повторяет знак исходного выражения, а средний член второй скобки берётся с противоположным знаком, то есть с плюсом. Трёхчлен a² + ab + b² называют неполным квадратом суммы, потому что в (a + b)² = a² + 2ab + b² средний член вдвое больше.

Пример: 27 − y³ = 3³ − y³ = (3 − y)(9 + 3y + y²).

Правило знаков удобно запомнить так:

• знак в первой скобке совпадает со знаком между кубами;
• знак перед ab во второй скобке противоположен ему;
• перед квадратами во второй скобке всегда стоит плюс.

Почему формулы верны

Каждую формулу легко проверить раскрытием скобок: каждый член первого множителя умножают на каждый член второго.

Для суммы кубов:

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³.

Для разности кубов:

(a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³.

В обоих случаях смешанные слагаемые a²b и ab² появляются дважды с противоположными знаками и взаимно уничтожаются. Именно поэтому во втором множителе нужен неполный квадрат. Средний член ±ab подобран так, чтобы после умножения на a и на ±b он дал ровно те слагаемые, которые сократятся с остальными.

Если вместо неполного квадрата взять полный, сокращения не произойдёт. Например, (a + b)(a + b)² = (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, и лишние слагаемые 3a²b и 3ab² остаются в результате.

У неполного квадрата есть ещё одно полезное свойство. При действительных a и b выражение a² − ab + b² можно записать как (a − b/2)² + 3b²/4. Оно неотрицательно и равно нулю только при a = b = 0. То же верно для a² + ab + b². Поэтому второй множитель, как правило, дальше на множители с действительными коэффициентами не раскладывают, а в уравнениях он часто не даёт корней.

Как распознать кубы и выбрать формулу

Формулу можно применить, только если оба слагаемых удаётся записать как кубы каких-то выражений. Затем знак между ними подсказывает, какая формула нужна: плюс — сумма кубов, минус — разность.

Кубы чисел, переменных и выражений

Кубы натуральных чисел от 1 до 10 стоит знать наизусть:

Кубами бывают и дроби: 0,001 = 0,1³, 1/8 = (1/2)³, 8/27 = (2/3)³.

Степень переменной является кубом, если показатель делится на 3: x⁶ = (x²)³, y⁹ = (y³)³. Одночлен будет кубом, когда это условие выполняется для коэффициента и всех переменных: 27a³b⁶ = (3ab²)³, 64x¹² = (4x⁴)³.

Основанием куба может быть и многочлен целиком, например (x + 1)³ или (2m − n)³. В формулу его подставляют как одно число a или b, обязательно в скобках.

Знак минус тоже можно спрятать в куб: −8 = (−2)³. Поэтому x³ − 8 допустимо рассматривать как x³ + (−2)³ и применять формулу суммы кубов. Результат совпадёт с тем, что даёт формула разности: (x − 2)(x² + 2x + 4).

Чем сумма кубов отличается от куба суммы

Близкие по звучанию выражения обозначают разные вещи. Сумма кубов (иногда говорят «сумма куба», имея в виду то же самое) — это a³ + b³: каждое число сначала возводят в куб, потом результаты складывают. Куб суммы — это (a + b)³: числа сначала складывают, потом возводят в куб.

Разница видна на числах. При a = 1 и b = 2 сумма кубов равна 1 + 8 = 9, а куб суммы равен 3³ = 27.

Связь между ними выражается тождеством (a + b)³ − (a³ + b³) = 3ab(a + b). Оно показывает, что куб суммы совпадает с суммой кубов только тогда, когда a = 0, b = 0 или a = −b.

Частая ошибка — записать a³ + b³ как (a + b)³. Она возникает из-за привычки «выносить» степень за скобки, как при умножении: a³b³ = (ab)³. Для сложения такое правило не работает. Если в задаче стоит сумма кубов, её раскладывают на произведение по формуле, а куб двучлена раскрывают в четыре слагаемых.

Как применять формулы в задачах

Формулы читаются в обе стороны. Слева направо они раскладывают двучлен на множители. Справа налево сворачивают произведение в короткий двучлен, например (x − 1)(x² + x + 1) = x³ − 1.

Разложение выражений на множители

Пример 1.

Условие: разложить на множители 8x³ + 27.

Решение: 8x³ = (2x)³, 27 = 3³. Применяем формулу суммы кубов с a = 2x, b = 3: (2x + 3)((2x)² − 2x · 3 + 3²).

Ответ: (2x + 3)(4x² − 6x + 9).

Пример 2.

Условие: разложить на множители x⁶ − 64y³.

Решение: x⁶ = (x²)³, 64y³ = (4y)³. По формуле разности кубов: (x² − 4y)((x²)² + x² · 4y + (4y)²).

Ответ: (x² − 4y)(x⁴ + 4x²y + 16y²).

Пример 3.

Условие: разложить на множители 2a⁴ − 54a.

Решение: сначала выносим общий множитель 2a: 2a(a³ − 27). В скобке разность кубов a³ − 3³.

Ответ: 2a(a − 3)(a² + 3a + 9).

Вынесение общего множителя перед применением формулы — обязательный шаг. Без него кубы часто просто не видны.

Пример 4.

Условие: разложить на множители (x + 1)³ + 8.

Решение: a = x + 1, b = 2. По формуле суммы кубов: (x + 1 + 2)((x + 1)² − 2(x + 1) + 4). Упрощаем вторую скобку: x² + 2x + 1 − 2x − 2 + 4 = x² + 3.

Ответ: (x + 3)(x² + 3).

Проверка: (x + 3)(x² + 3) = x³ + 3x² + 3x + 9, а (x + 1)³ + 8 = x³ + 3x² + 3x + 1 + 8 — результаты совпадают.

Сокращение алгебраических дробей

Чтобы сократить дробь, числитель и знаменатель раскладывают на множители и делят на общий множитель. При этом значения переменных, обращающие знаменатель в нуль, остаются недопустимыми и после сокращения.

Пример 5.

Условие: сократить дробь (x³ − 8) / (x² − 4).

Решение: числитель — разность кубов: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4). Знаменатель — разность квадратов: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Сокращаем на x − 2.

Ответ: (x² + 2x + 4) / (x + 2), где x ≠ 2 и x ≠ −2.

Пример 6.

Условие: сократить дробь (a² − ab + b²) / (a³ + b³).

Решение: знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов: (a + b)(a² − ab + b²). Числитель совпадает со вторым множителем знаменателя.

Ответ: 1 / (a + b), где a ≠ −b.

Здесь важно узнать неполный квадрат в числителе. Без формулы суммы кубов общий множитель обнаружить трудно.

Решение уравнений

В уравнениях формулы помогают свести кубическое выражение к произведению. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7.

Условие: решить уравнение x³ + 27 = 0.

Решение: (x + 3)(x² − 3x + 9) = 0. Из первого множителя x = −3. Для квадратного трёхчлена x² − 3x + 9 дискриминант D = 9 − 36 = −27 < 0, действительных корней нет.

Ответ: x = −3.

Пример 8.

Условие: решить уравнение x³ + 1 = x + 1.

Решение: раскладываем левую часть: (x + 1)(x² − x + 1) = x + 1. Переносим всё влево и выносим x + 1: (x + 1)(x² − x + 1 − 1) = 0, то есть (x + 1)(x² − x) = 0, или x(x + 1)(x − 1) = 0.

Ответ: x = −1, x = 0, x = 1.

Обе части уравнения нельзя делить на x + 1: при x = −1 этот множитель равен нулю, и корень x = −1 был бы потерян. Правильный путь — перенести всё в одну часть и вынести общий множитель за скобки.