Модуль числа, или абсолютная величина числа, — это расстояние от нуля до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен этому числу без знака «минус», а модуль нуля равен нулю: |7| = 7, |−7| = 7, |0| = 0. Записывают модуль с помощью знака модуля, двух вертикальных черт: |a|. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, модуль любого числа неотрицателен. Из этого следуют и другие свойства модуля: у противоположных чисел модули равны, модуль произведения равен произведению модулей, а число никогда не превышает свой модуль.
Что такое модуль числа в математике
В 6 классе модуль вводят вместе с отрицательными числами, когда числа начинают сравнивать не только по величине, но и по удалённости от нуля. Числа 4 и −4 различаются знаком, но находятся на одинаковом расстоянии от нуля: по 4 единичных отрезка. Модуль описывает именно эту удалённость и не учитывает, в какую сторону от нуля расположено число.
Строгое определение выглядит так:
- если число a больше нуля или равно нулю, то |a| = a;
- если число a меньше нуля, то |a| = −a.
Запись |a| = −a для отрицательного a часто вызывает недоумение. Здесь −a означает число, противоположное a. Если a = −9, то −a = −(−9) = 9. Значит, модуль отрицательного числа всегда положителен, и минус в формуле не делает результат отрицательным.
Термины «модуль» и «абсолютная величина» означают одно и то же. Слово «модуль» происходит от латинского modulus, «мера», и действительно служит мерой удалённости числа от нуля.
Как обозначают модуль числа
Модуль обозначают двумя вертикальными чертами, между которыми записывают число или выражение: |5|, |−3,2|, |−2/7|, |8 − 15|. Запись |a| читают «модуль a» или «модуль числа a».
Вертикальные черты ставят по обе стороны от числа, причём знак числа остаётся внутри: в записи |−6| минус относится к числу −6, а не к модулю. Если же минус стоит снаружи, как в записи −|6|, то сначала находят модуль, а затем берут противоположное число: −|6| = −6.
Черты модуля одновременно выполняют роль скобок: всё, что записано между ними, вычисляется первым. Например, в записи |3 − 10| сначала выполняют вычитание, а затем находят модуль результата.
В калькуляторах и языках программирования модуль обычно обозначают функцией abs, от английского absolute value. Запись abs(−5) означает то же, что |−5|.
Как найти модуль положительного, отрицательного числа и нуля
Чтобы найти модуль, достаточно определить знак числа. От знака зависит, оставить число без изменений или заменить его противоположным.
Модуль положительного числа
Модуль положительного числа равен самому этому числу. Положительное число уже показывает своё расстояние от нуля, поэтому менять его не нужно.
Примеры: |12| = 12; |0,35| = 0,35; |3/4| = 3/4; |1 000| = 1 000.
Модуль отрицательного числа
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. На практике это означает, что знак «минус» отбрасывают.
Примеры: |−12| = 12; |−0,35| = 0,35; |−3/4| = 3/4; |−2 1/3| = 2 1/3.
Отбрасывают только знак самого числа. Цифры, дробная часть и форма записи сохраняются: модуль смешанного числа остаётся смешанным числом, модуль десятичной дроби остаётся десятичной дробью.
Модуль нуля
Модуль нуля равен нулю: |0| = 0. Нуль не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам, а точка с координатой 0 совпадает с началом отсчёта, поэтому расстояние от неё до нуля равно нулю.
Нуль — единственное число с нулевым модулем. У любого другого числа модуль положителен.
Модуль числа на координатной прямой
Координатная прямая — это прямая, на которой отмечены начало отсчёта O с координатой 0, единичный отрезок и положительное направление, обычно вправо. Каждому числу на ней соответствует точка: положительные числа лежат справа от нуля, отрицательные — слева.
Расстояние от нуля до точки
Модуль числа равен количеству единичных отрезков между началом отсчёта и точкой с этим числом. Пусть точка A имеет координату 5, а точка B — координату −3. От O до A укладывается 5 единичных отрезков, поэтому |5| = 5. От O до B укладывается 3 единичных отрезка, поэтому |−3| = 3.
Направление при этом не важно. Неважно, идти от нуля вправо или влево: длина пройденного отрезка всегда выражается неотрицательным числом. Поэтому геометрическое определение сразу объясняет, почему модуль не бывает отрицательным.
Почему противоположные числа имеют одинаковые модули
Противоположные числа отличаются только знаком, например 6 и −6 или 2,5 и −2,5. На координатной прямой они расположены симметрично относительно нуля: одно справа, другое слева, на равных расстояниях от начала отсчёта.
Раз расстояния равны, равны и модули: |6| = |−6| = 6. По этой же причине, зная модуль, нельзя однозначно восстановить число. Если известно, что |a| = 6, то число a может быть равно 6 или −6, поскольку обе точки удалены от нуля на 6 единичных отрезков.
Основные свойства модуля
Свойства модуля вытекают из его определения и помогают быстро вычислять выражения и проверять ответы.
Неотрицательность и модуль нуля
Модуль любого числа больше нуля или равен нулю: |a| ≥ 0. Равенство |a| = 0 выполняется только при a = 0.
Отсюда следует практическое правило: если в ответе вычисление модуля дало отрицательное число, в решении есть ошибка. Например, запись |−4| = −4 неверна, правильно |−4| = 4.
Равенство модулей противоположных чисел
Для любого числа a выполняется равенство |−a| = |a|. Например, |−15| = |15| = 15 и |−0,8| = |0,8| = 0,8.
Свойство работает и в обратную сторону: если модули двух чисел равны, то числа либо равны, либо противоположны. Так, из |a| = |b| при a = 7 следует, что b = 7 или b = −7.
Модуль произведения и частного
Модуль произведения равен произведению модулей множителей:
|a · b| = |a| · |b|.
Проверка: |(−3) · 4| = |−12| = 12 и |−3| · |4| = 3 · 4 = 12.
Модуль частного равен частному модулей, если делитель не равен нулю:
|a : b| = |a| : |b|, где b ≠ 0.
Проверка: |(−20) : (−5)| = |4| = 4 и |−20| : |−5| = 20 : 5 = 4.
Эти свойства согласуются с правилами знаков: при умножении и делении модуль результата всегда равен произведению или частному модулей, а знаки влияют только на то, будет ли сам результат положительным или отрицательным.
Для суммы аналогичного равенства нет. Например, |−3 + 5| = |2| = 2, а |−3| + |5| = 8. Поэтому модуль суммы нельзя заменять суммой модулей.
Сравнение числа с его модулем
Любое число меньше своего модуля или равно ему: a ≤ |a|.
- Если a > 0 или a = 0, число равно своему модулю: 9 = |9|, 0 = |0|.
- Если a < 0, число меньше своего модуля: −9 < |−9|, так как −9 < 9.
Модуль помогает и при сравнении отрицательных чисел между собой: из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Например, −2,1 > −5, поскольку |−2,1| = 2,1 меньше, чем |−5| = 5. На координатной прямой −2,1 расположено ближе к нулю, а значит, правее.
Как вычислять выражения с модулем
Знак модуля встречается не только рядом с отдельным числом, но и внутри более длинных выражений. В таких случаях важен порядок действий.
Действия внутри знака модуля
Вертикальные черты модуля задают порядок действий так же, как скобки: сначала вычисляют выражение между ними, затем находят модуль полученного числа.
Пример: |4 − 11|.
- Внутри модуля: 4 − 11 = −7.
- Модуль результата: |−7| = 7.
Ответ: 7.
Пример: |(−2) · 3 + 1|.
- Внутри модуля сначала умножение: (−2) · 3 = −6.
- Затем сложение: −6 + 1 = −5.
- Модуль результата: |−5| = 5.
Ответ: 5.
Раскрытие модуля после определения знака выражения
Иногда выражение под модулем не обязательно вычислять до конца. Достаточно понять, какой у него знак, и затем снять черты модуля:
- если выражение положительно или равно нулю, модуль заменяют самим выражением;
- если выражение отрицательно, модуль заменяют противоположным выражением.
Пример: |3,5 − 5|. Число 3,5 меньше 5, поэтому разность отрицательна. Значит, |3,5 − 5| = 5 − 3,5 = 1,5.
Пример: |7/9 − 1/3|. Так как 1/3 = 3/9, а 7/9 > 3/9, разность положительна. Значит, |7/9 − 1/3| = 7/9 − 3/9 = 4/9.
Такой приём удобен, когда числа неудобны для прямого вычисления или когда нужно сохранить выражение в исходном виде.
Вычисление составных выражений
В составных выражениях модуль — это отдельное число, которое участвует в дальнейших действиях. Удобный порядок:
- Найти значения всех модулей, начиная с действий внутри них.
- Заменить каждый модуль найденным числом.
- Выполнить оставшиеся действия по обычным правилам: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Пример: 20 − |−6| · |2 − 5|.
- |−6| = 6.
- 2 − 5 = −3, поэтому |2 − 5| = 3.
- 20 − 6 · 3 = 20 − 18 = 2.
Ответ: 2.
Знак, стоящий перед модулем, сохраняется после его вычисления. В выражении 20 − |−6| вычитается число 6, а не −6.
Примеры заданий на модуль числа
Нахождение модуля отдельного числа
Условие. Найдите модули чисел: −14; 0,07; −5 2/9; 0; −0,6.
Решение. Положительное число и нуль оставляем без изменений, у отрицательных чисел отбрасываем знак «минус»:
- |−14| = 14;
- |0,07| = 0,07;
- |−5 2/9| = 5 2/9;
- |0| = 0;
- |−0,6| = 0,6.
Ответ: 14; 0,07; 5 2/9; 0; 0,6.
Вычисление выражения с несколькими модулями
Условие. Вычислите: |−12| : |3| + |−2,5| · |−4|.
Решение.
- Находим модули: |−12| = 12, |3| = 3, |−2,5| = 2,5, |−4| = 4.
- Подставляем: 12 : 3 + 2,5 · 4.
- Выполняем деление и умножение: 12 : 3 = 4; 2,5 · 4 = 10.
- Складываем: 4 + 10 = 14.
Ответ: 14.
Условие. Вычислите: |−8| − |5 − 9| + |−1,2|.
Решение.
- |−8| = 8.
- 5 − 9 = −4, поэтому |5 − 9| = 4.
- |−1,2| = 1,2.
- 8 − 4 + 1,2 = 4 + 1,2 = 5,2.
Ответ: 5,2.
Решение простого уравнения с модулем
Условие. Решите уравнение |x| + 2 = 9.
Решение.
- Находим неизвестное слагаемое: |x| = 9 − 2 = 7.
- Модуль 7 имеют два числа, удалённые от нуля на 7 единичных отрезков: 7 и −7.
- Проверка: |7| + 2 = 7 + 2 = 9; |−7| + 2 = 7 + 2 = 9. Оба значения подходят.
Ответ: x = 7 или x = −7.
Число решений такого уравнения зависит от числа в правой части после преобразований:
- |x| = c, где c > 0, — два решения: c и −c;
- |x| = 0 — одно решение: x = 0;
- |x| = c, где c < 0, — решений нет, так как модуль не бывает отрицательным.
Например, уравнение |x| = −3 не имеет решений.
Типичные ошибки при работе с модулем
Путаница модуля со скобками
В чём ошибка. Модуль воспринимают как обычные скобки и просто снимают черты: |−5| = −5. Или, наоборот, находят модуль каждого слагаемого по отдельности: |−3 + 5| = 3 + 5 = 8.
Почему она возникает. Черты модуля действительно задают порядок действий, как скобки, поэтому их легко принять за скобки целиком. Кроме того, правило «отбросить минус» запоминают без условия, что применять его можно только к готовому числу, а не к отдельным частям суммы.
Как действовать правильно. Сначала вычислить всё, что стоит внутри модуля, затем найти модуль результата: |−3 + 5| = |2| = 2. После этого проверить, что ответ не отрицательный.
Потеря знака перед модулем
В чём ошибка. Минус, стоящий перед модулем, исчезает вместе с вертикальными чертами: −|−7| = 7 или 10 − |−3| = 13.
Почему она возникает. Правило «модуль убирает минус» распространяют на знак, который стоит вне модуля и к нему не относится.
Как действовать правильно. Модуль влияет только на число внутри черт. Сначала найти модуль, затем выполнить действие со знаком снаружи: −|−7| = −7; 10 − |−3| = 10 − 3 = 7.
Неверный учёт решений уравнения
В чём ошибка. В уравнении |x| = 4 указывают только x = 4 и теряют x = −4. Другой вариант ошибки: уравнению |x| = −4 приписывают решение x = −4.
Почему она возникает. Уравнение решают как обычное, без учёта того, что модуль описывает расстояние, а оно одинаково для чисел по обе стороны от нуля и не бывает отрицательным.
Как действовать правильно. Перед ответом посмотреть на число, которому равен модуль. Если оно положительное, записать два противоположных решения; если равно нулю, одно решение x = 0; если отрицательное, указать, что решений нет. Найденные значения полезно проверить подстановкой в исходное уравнение.