Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней, например 5a²b, −x или 0,3m. Стандартный вид одночлена — запись, в которой единственный числовой множитель, коэффициент одночлена, стоит на первом месте, а за ним идут степени разных переменных, каждая по одному разу, то есть переменная часть одночлена; степень одночлена равна сумме показателей всех переменных. Приведение одночлена к стандартному виду сводится к перемножению чисел и объединению одинаковых переменных со сложением показателей, и только после этого можно точно назвать коэффициент, переменную часть и степень: 2a · 3a²b = 6a³b, где коэффициент 6, переменная часть a³b, степень 1 + 3 + … точнее 3 + 1 = 4.
Что такое одночлен
Одночлен строится только с помощью умножения. В нём могут участвовать числа, переменные и степени переменных с натуральными показателями, но не может быть сложения, вычитания или деления на выражение с переменной. Поэтому одночлен — простейший «кирпичик» алгебраических выражений: из одночленов затем составляются многочлены.
Отдельное число, отдельная переменная и степень переменной тоже считаются одночленами. Это произведения из одного множителя, и такое соглашение позволяет не делать для них исключений в правилах.
Какие выражения являются одночленами
Одночленами являются:
- числа: 7, −2, 0,5, 3/4;
- переменные и их степени: x, b³, y¹⁰;
- произведения чисел и переменных: 4ab, −3x²y, 0,2m·n·m;
- выражения со знаком минус перед произведением: −a²b, так как это произведение −1 · a²b;
- выражения с делением на число: a/3 — это (1/3) · a, то есть одночлен с коэффициентом 1/3.
Одночлен не обязан быть записан компактно. Выражение 2x · 5 · y · x тоже одночлен, просто он ещё не приведён к стандартному виду.
Какие выражения не являются одночленами
Выражение перестаёт быть одночленом, если в нём появляется операция, которую нельзя свести к умножению чисел и натуральных степеней переменных:
- сумма или разность: a + b, x² − 1;
- степень суммы: (a + b)², потому что внутри скобок стоит сложение;
- деление на переменную: 5/x, ab/c;
- корень из переменной: √x;
- переменная в показателе степени: 2ˣ.
Внешний вид может обманывать. Запись (a + b)² выглядит как одна степень, но после раскрытия скобок получается a² + 2ab + b², то есть три слагаемых. А дробь 3x²/4, наоборот, остаётся одночленом, потому что делитель — число.
Стандартный вид одночлена
Одночлен записан в стандартном виде, если выполнены два условия: числовой множитель только один и стоит на первом месте, а каждая переменная встречается один раз в виде степени.
Например, −6a³b записан в стандартном виде. Выражение 2a · (−3) · a²b — нет: в нём два числовых множителя и переменная a повторяется. Запись b · 4a тоже не считается стандартной, потому что число стоит не первым.
Переменные обычно располагают в алфавитном порядке: 3a²bc, а не 3cba². Это соглашение для удобства чтения и сравнения, а не обязательное условие: от перестановки множителей одночлен не меняется.
Коэффициент и переменная часть
Коэффициент одночлена — числовой множитель в его стандартном виде. Переменная часть — произведение степеней переменных, которое стоит после коэффициента.
| Одночлен | Коэффициент | Переменная часть |
|---|---|---|
| 7x²y | 7 | x²y |
| −0,4ab³ | −0,4 | ab³ |
| m⁵n | 1 | m⁵n |
| −xy | −1 | xy |
| 2/3 | 2/3 | отсутствует |
Коэффициенты 1 и −1 обычно не пишут: вместо 1 · m⁵n пишут m⁵n, вместо −1 · xy пишут −xy. При этом коэффициент всё равно существует, и его нужно уметь назвать. Знак минус перед одночленом относится к коэффициенту.
Одночлены с одинаковой переменной частью называют подобными: например, 3a²b и −5a²b. Именно поэтому переменную часть важно выделять отдельно.
Степень одночлена
Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в его стандартном виде. Если у переменной показатель не написан, он равен 1.
- 4x³ — степень 3;
- −2a²b⁵ — степень 2 + 5 = 7;
- xyz — степень 1 + 1 + 1 = 3;
- 9 — степень 0, поскольку переменных нет.
Степень любого числа, отличного от нуля, считается равной нулю. Для числа 0 ситуация особая: в большинстве школьных учебников степень нулевого одночлена не определяют, потому что 0 можно записать как 0 · x, 0 · x⁵ и так далее с любым показателем.
Коэффициент на степень не влияет. У одночленов 100x² и 0,01x² степень одинаковая и равна 2.
Как привести одночлен к стандартному виду
Приведение опирается на два свойства: множители можно переставлять и группировать, а при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, то есть aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Последовательность действий
- Определить знак результата: если отрицательных множителей чётное число, произведение положительно, если нечётное — отрицательно.
- Перемножить все числовые множители и записать результат первым.
- Собрать вместе степени каждой переменной и сложить их показатели.
- Записать переменные после коэффициента, обычно в алфавитном порядке.
- Опустить коэффициент 1, а коэффициент −1 заменить знаком минус.
После этого коэффициент, переменная часть и степень читаются прямо из записи.
Примеры объединения числовых множителей и одинаковых переменных
Пример 1.
Условие: привести к стандартному виду 3a · (−2) · a² · b.
Решение: числа 3 · (−2) = −6. Степени a: a · a² = a¹⁺² = a³. Переменная b встречается один раз.
Ответ: −6a³b; коэффициент −6, переменная часть a³b, степень 3 + 1 = 4.
Пример 2.
Условие: привести к стандартному виду 0,5x · y² · 4x³ · y.
Решение: числа 0,5 · 4 = 2. Степени x: x · x³ = x⁴. Степени y: y² · y = y³.
Ответ: 2x⁴y³; коэффициент 2, степень 4 + 3 = 7.
Пример 3.
Условие: привести к стандартному виду −a · (−b) · a · 5.
Решение: отрицательных множителей два, поэтому результат положительный. Числа: (−1) · (−1) · 5 = 5. Степени a: a · a = a². Переменная b — одна.
Ответ: 5a²b; коэффициент 5, степень 3.
Пример 4.
Условие: привести к стандартному виду (2/3)m²n · (−9/4)mn³.
Решение: числа (2/3) · (−9/4) = −18/12 = −3/2. Степени m: m² · m = m³. Степени n: n · n³ = n⁴.
Ответ: −(3/2)m³n⁴, или −1,5m³n⁴; коэффициент −1,5, степень 3 + 4 = 7.
Пример 5.
Условие: привести к стандартному виду x · y · x · (−1) · y · x.
Решение: числовой множитель единственный, −1. Степени x: x · x · x = x³. Степени y: y · y = y².
Ответ: −x³y²; коэффициент −1, степень 5.
Чем одночлен отличается от многочлена
Многочлен — это сумма одночленов, а одночлен состоит из одного члена, в котором есть только умножение. Выражение 3x²y — одночлен, а 3x²y + 2x − 5 — многочлен из трёх членов.
| Признак | Одночлен | Многочлен |
|---|---|---|
| Допустимые действия | только умножение | сложение и вычитание одночленов |
| Пример | −4ab² | −4ab² + a − 1 |
| Степень | сумма показателей переменных | наибольшая из степеней его членов |
| Стандартный вид | один коэффициент и степени разных переменных | члены в стандартном виде, подобные приведены |
Одночлен считают частным случаем многочлена — многочленом из одного члена. Обратное неверно: многочлен с двумя и более неподобными членами одночленом не является.
Различие хорошо видно на степени. У одночлена 2x³y степень 4, а у многочлена x³ + xy⁵ степень 6: показатели складываются внутри каждого члена, а затем выбирается наибольший результат, а не сумма по всем членам.
Типичные ошибки при работе с одночленами
Ошибки при определении коэффициента и степени
Ошибка: назвать коэффициент до приведения к стандартному виду. В выражении 2x · 3y коэффициентом называют 2. Причина: взгляд цепляется за первое число в записи. Как правильно: сначала получить 6xy, затем назвать коэффициент 6.
Ошибка: считать, что у −ab коэффициента нет или он равен 1. Причина: единица не пишется, а знак минус воспринимается отдельно от числа. Как правильно: коэффициент −ab равен −1, коэффициент ab равен 1.
Ошибка: не учитывать показатель 1 при подсчёте степени. Степень 5x²y называют равной 2. Причина: у y показатель не написан. Как правильно: y = y¹, поэтому степень 2 + 1 = 3.
Ошибка: включать коэффициент в степень. Для 3x² пишут степень 3 или 5. Причина: смешиваются число перед переменными и показатели. Как правильно: степень зависит только от показателей переменных, у 3x² она равна 2.
Ошибки при работе со знаками и показателями степени
Ошибка: перемножать показатели вместо сложения: x² · x³ = x⁶. Причина: путаница с правилом возведения степени в степень. Как правильно: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, x² · x³ = x⁵.
Ошибка: записывать x · x как 2x. Причина: смешиваются умножение и сложение. Как правильно: x · x = x², а x + x = 2x.
Ошибка: терять знак при нескольких отрицательных множителях: (−2a) · (−3b) = −6ab. Причина: знак определяют по первому множителю. Как правильно: два отрицательных множителя дают положительный результат, ответ 6ab.
Ошибка: путать −a² и (−a)². Причина: скобки кажутся несущественными. Как правильно: в −a² в квадрат возводится только a, коэффициент −1; в (−a)² в квадрат возводится −a, получается a² с коэффициентом 1.
Краткий алгоритм проверки результата
- Проверить, что числовые множители перемножены и в записи остался один коэффициент на первом месте.
- Убедиться, что одинаковые переменные объединены, а их показатели сложены, и каждая переменная встречается один раз.
- Отдельно определить коэффициент, переменную часть и степень, не забывая о скрытых единицах в коэффициенте и показателях.
- Проверить знак по числу отрицательных множителей и убедиться, что в записи не осталось лишних скобок.