Числовые промежутки и координатная прямая

Числовой промежуток — это множество всех чисел, лежащих между двумя граничными числами или по одну сторону от одного граничного числа. Его изображают на координатной прямой, то есть на прямой с началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. Интервал (a; b) содержит все числа между a и b без самих границ, отрезок [a; b] содержит числа между ними вместе с обеими границами, а полуинтервал включает только одну из границ. Луч содержит все числа, лежащие по одну сторону от граничной точки. Закрытая граница принадлежит промежутку, открытая не принадлежит. Виды промежутков отличаются тем, какие границы в них включены, а координатная прямая показывает это наглядно: видно, где промежуток начинается, где заканчивается и входит ли в него каждая граница.

Как обозначают границы на координатной прямой

У каждой границы промежутка есть два возможных состояния, и для каждого принято своё обозначение на рисунке и в записи.

Закрашенная точка означает, что граничное число входит в промежуток. Такую границу называют закрытой и записывают квадратной скобкой: [ или ]. В неравенстве ей соответствуют нестрогие знаки ≤ и ≥.

Незакрашенная, или выколотая, точка (пустой кружок) означает, что граничное число в промежуток не входит. Такая граница открытая, её записывают круглой скобкой: ( или ). В неравенстве ей соответствуют строгие знаки < и >.

Сами числа промежутка показывают выделенной частью прямой: штриховкой, дугой над прямой или цветом. Если выделен участок между двумя точками, промежуток ограничен с обеих сторон. Если выделение уходит от точки вправо, в промежуток входят все числа больше граничного. Если влево, то все числа меньше граничного, потому что на координатной прямой числа растут слева направо.

Виды числовых промежутков

Интервал и отрезок

Интервал и отрезок ограничены двумя числами a и b, причём a < b. Разница между ними только в границах.

Интервал (a; b) — это все числа x, для которых a < x < b. На прямой обе граничные точки незакрашенные, выделен участок между ними.

Отрезок [a; b] — это все числа x, для которых a ≤ x ≤ b. Обе граничные точки закрашенные.

Пример: возьмём a = −2 и b = 3.

• Интервал (−2; 3) задаётся неравенством −2 < x < 3. Числа −2 и 3 в него не входят, а 0, 1,5 и 2,99 входят.
• Отрезок [−2; 3] задаётся неравенством −2 ≤ x ≤ 3. В него входят и все числа между −2 и 3, и сами −2 и 3.

Разница хорошо видна на целых числах. В интервал (−2; 3) входят целые числа −1, 0, 1, 2, всего четыре. В отрезок [−2; 3] входят −2, −1, 0, 1, 2, 3, всего шесть.

Полуинтервал

Полуинтервал тоже ограничен двумя числами, но включает только одну границу. В некоторых учебниках его называют полуотрезком. Вариантов два:

• [a; b) — все x, для которых a ≤ x < b. Левая граница закрашена, правая выколота.
• (a; b] — все x, для которых a < x ≤ b. Левая граница выколота, правая закрашена.

Пример с числами 1 и 4:

• [1; 4) задаётся неравенством 1 ≤ x < 4. Число 1 входит, число 4 не входит.
• (1; 4] задаётся неравенством 1 < x ≤ 4. Число 1 не входит, число 4 входит.

Скобки в записи могут быть разными, и каждая относится только к своей границе.

Луч и вся числовая прямая

Луч ограничен только с одной стороны. С другой стороны он продолжается неограниченно, и это записывают знаком бесконечности: +∞ (плюс бесконечность) справа или −∞ (минус бесконечность) слева. Бесконечность — не число, а обозначение того, что промежуток не заканчивается. Рядом с ней всегда ставят круглую скобку.

Луч с включённым началом называют числовым лучом:

• [3; +∞) — все x, для которых x ≥ 3;
• (−∞; 3] — все x, для которых x ≤ 3.

Луч с исключённым началом называют открытым числовым лучом:

• (3; +∞) — все x, для которых x > 3;
• (−∞; 3) — все x, для которых x < 3.

На рисунке у числового луча начальная точка закрашена, у открытого выколота. Названия в учебниках немного различаются: иногда открытый луч тоже называют интервалом. При этом запись и смысл промежутка от названия не зависят.

Если промежуток не ограничен ни слева, ни справа, это вся числовая прямая: (−∞; +∞). В неё входят все числа, и на рисунке выделяется вся прямая без граничных точек.

Как переходить между неравенством, рисунком и записью промежутка

От неравенства к промежутку

Чтобы перейти от неравенства к промежутку, достаточно ответить на три вопроса:

1. Какое число служит границей (или какие два числа)?
2. Знак строгий или нестрогий? От этого зависит, будет точка закрашенной или пустой и какую скобку ставить.
3. Куда идут подходящие числа: вправо, влево или они заключены между границами?

Пример 1. Неравенство x > −1. Граница −1, знак строгий, значит точка выколота и скобка круглая. Подходят числа больше −1, поэтому выделяем часть прямой вправо от −1. Ответ: (−1; +∞).

Пример 2. Неравенство x ≤ 5. Граница 5, знак нестрогий, значит точка закрашена и скобка квадратная. Подходят числа меньше 5 и само 5, поэтому выделяем часть прямой влево. Ответ: (−∞; 5].

Пример 3. Двойное неравенство 0 ≤ x < 7. Границы 0 и 7. У нуля знак нестрогий, поэтому скобка квадратная. У семёрки знак строгий, поэтому скобка круглая. Выделяем участок между точками. Ответ: [0; 7).

Если неравенство записано с переменной справа, например 4 < x, удобно сначала прочитать его как x > 4. Затем действуем по тем же шагам и получаем (4; +∞).

От рисунка или записи промежутка к неравенству

Обратный переход начинается с вопроса: какие значения x входят в промежуток? Затем каждую границу переводят в знак неравенства.

Пример 1. На координатной прямой закрашена точка −4, выколота точка 2, выделен участок между ними. Подходят числа от −4 до 2. Число −4 входит, потому что точка закрашена. Число 2 не входит, потому что точка пустая. Запись промежутка: [−4; 2). Неравенство: −4 ≤ x < 2. Проверка: x = 1,5 подходит, так как −4 ≤ 1,5 < 2; x = 2 не подходит, так как неравенство 2 < 2 неверно.

Пример 2. Дан промежуток (−∞; 0). Слева ограничения нет, справа граница 0 не включена. Подходят все отрицательные числа. Неравенство: x < 0.

Пример 3. Дан промежуток [2,5; +∞). Граница 2,5 включена, подходят числа справа от неё. Неравенство: x ≥ 2,5.

Как проверить запись и избежать ошибок

Готовую запись удобно проверять подстановкой: взять граничное число и любое число внутри промежутка и убедиться, что запись, рисунок и неравенство дают одинаковый ответ. Большинство ошибок возникает в трёх местах.

Ошибка 1: скобка не соответствует точке. Часто на рисунке точка закрашена, а в записи стоит круглая скобка, или наоборот. Так бывает, когда записывают промежуток по памяти, не сверяясь с рисунком. Правильно: каждую границу проверять отдельно. Закрашенная точка и знаки ≤, ≥ дают квадратную скобку. Пустая точка и знаки <, > дают круглую.

Ошибка 2: границы записаны в неправильном порядке. Запись (5; 2) неверна. Её пишут, когда переносят числа в том порядке, в каком они встретились в условии. Правильно: слева всегда ставят меньшее число, справа большее, как на координатной прямой. Нужный промежуток записывается как (2; 5).

Ошибка 3: бесконечность «включают» в промежуток. Записи [−∞; 3] или [1; +∞] неверны. Ошибка появляется, когда квадратную скобку ставят по аналогии с другой границей. Правильно: бесконечность не является числом и не может принадлежать промежутку, поэтому рядом с ней всегда круглая скобка: (−∞; 3], [1; +∞).

Если после проверки граничное число, внутреннее число и направление выделения совпадают во всех трёх формах, промежуток записан верно.