Формулы сокращённого умножения: квадраты, кубы и примеры применения

Формулы сокращённого умножения — это тождества, которые позволяют сразу записать результат умножения некоторых многочленов без поэтапного перемножения скобок: квадрат суммы (a + b)² = a² + 2ab + b², квадрат разности (a − b)² = a² − 2ab + b², разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b), куб суммы (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ и куб разности (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. С их помощью выполняют тождественные преобразования, то есть заменяют выражение равным ему при всех значениях переменных, и разложение на множители, то есть представление многочлена в виде произведения многочленов. Каждую формулу можно читать в обе стороны. Слева направо она раскрывает скобки: (x + 4)² = x² + 8x + 16. Справа налево сворачивает многочлен в произведение: x² − 25 = (x − 5)(x + 5). К этой же группе относятся сумма и разность кубов, которые работают в основном справа налево, при разложении на множители.

Таблица основных формул

В курсе алгебры 7 класса обычно изучают семь формул сокращённого умножения. Буквы a и b в них обозначают любые выражения: числа, переменные, одночлены вроде 3x или 2ab, а также многочлены.

Неполным квадратом называют выражение, похожее на квадрат суммы или разности, но без удвоения среднего члена: a² + ab + b² вместо a² + 2ab + b².

Формулы квадратов: как они работают

Под формулами квадратов понимают три тождества: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Все они получаются обычным умножением многочлена на многочлен, поэтому любую из них можно восстановить за несколько строк, если она забылась.

Квадрат суммы

Квадрат выражения — это произведение выражения на само себя, поэтому (a + b)² = (a + b)(a + b). Умножим каждый член первой скобки на каждый член второй:

(a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².

Произведения ab и ba равны, поэтому они складываются в удвоенное произведение 2ab. Именно этот средний член отличает квадрат суммы от простой суммы квадратов.

Пример. Раскроем скобки в выражении (3x + 2)².

Первое выражение — 3x, второе — 2. Квадрат первого: (3x)² = 9x². Удвоенное произведение: 2 · 3x · 2 = 12x. Квадрат второго: 2² = 4.

Ответ: (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4.

Квадрат разности

Разность a − b можно записать как сумму a + (−b). Подставим её в предыдущую формулу:

(a − b)² = a² + 2a · (−b) + (−b)² = a² − 2ab + b².

Отличается только знак среднего члена. Последний член остаётся положительным, потому что квадрат любого выражения неотрицателен. Отсюда полезное следствие: (b − a)² = (a − b)², ведь выражения a − b и b − a отличаются только знаком, а при возведении в квадрат знак пропадает.

Пример. Раскроем скобки в выражении (2y − 5)².

Квадрат первого: (2y)² = 4y². Удвоенное произведение со знаком минус: −2 · 2y · 5 = −20y. Квадрат второго: 5² = 25.

Ответ: (2y − 5)² = 4y² − 20y + 25.

Разность квадратов

Эта формула описывает произведение разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b² = a² − b².

Средние члены ab и −ab взаимно уничтожаются, поэтому результат получается короче исходных скобок.

Пример 1. Упростим произведение (4m − 3n)(4m + 3n).

Первое выражение — 4m, второе — 3n. По формуле: (4m)² − (3n)² = 16m² − 9n².

Ответ: 16m² − 9n².

Пример 2. Разложим на множители x² − 49.

Число 49 — это 7², значит, x² − 49 = x² − 7² = (x − 7)(x + 7).

Ответ: (x − 7)(x + 7).

У суммы квадратов a² + b² аналогичной формулы нет: выражение вроде x² + 9 по формулам сокращённого умножения на множители не раскладывается.

Формулы кубов: как они работают

Формулы кубов делятся на две пары. Куб суммы и куб разности раскрывают выражения вида (a ± b)³. Сумма и разность кубов, наоборот, раскладывают выражения вида a³ ± b³ на множители. Вместе с формулами квадратов они составляют полный набор, который используют в школьном курсе.

Куб суммы

Куб выражения — это произведение трёх одинаковых множителей. Удобно представить (a + b)³ как (a + b)² · (a + b) и воспользоваться уже известным квадратом суммы:

(a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Степень a от члена к члену уменьшается с 3 до 0, степень b растёт с 0 до 3, а коэффициенты идут в порядке 1, 3, 3, 1.

Пример. Раскроем скобки в выражении (x + 2)³.

Куб первого: x³. Утроенное произведение квадрата первого на второе: 3 · x² · 2 = 6x². Утроенное произведение первого на квадрат второго: 3 · x · 4 = 12x. Куб второго: 2³ = 8.

Ответ: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8.

Куб разности

Если заменить b на −b в формуле куба суммы, члены с нечётной степенью b сменят знак:

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.

Знаки чередуются, начиная с плюса, а последний член отрицательный: куб отрицательного выражения отрицателен.

Пример. Раскроем скобки в выражении (2a − 1)³.

Куб первого: (2a)³ = 8a³. Второй член: −3 · (2a)² · 1 = −12a². Третий член: 3 · 2a · 1² = 6a. Четвёртый член: −1³ = −1.

Ответ: (2a − 1)³ = 8a³ − 12a² + 6a − 1.

Сумма кубов

Формулу проще всего проверить умножением правой части:

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³.

Все промежуточные члены сокращаются, остаются только кубы. Вторая скобка — неполный квадрат разности: в ней стоит −ab, а не −2ab.

Пример. Разложим на множители x³ + 27.

Число 27 — это 3³. Получаем x³ + 3³ = (x + 3)(x² − 3x + 9).

Ответ: (x + 3)(x² − 3x + 9).

Разность кубов

Проверка выполняется так же:

(a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³.

Здесь вторая скобка — неполный квадрат суммы, все её члены положительны.

Пример. Разложим на множители 8y³ − 1.

Представим оба члена как кубы: 8y³ = (2y)³, 1 = 1³. Тогда (2y)³ − 1³ = (2y − 1)((2y)² + 2y · 1 + 1²) = (2y − 1)(4y² + 2y + 1).

Ответ: (2y − 1)(4y² + 2y + 1).

Как применять формулы в задачах

Сокращённое умножение нужно там, где обычное перемножение скобок даёт много однотипных шагов. В алгебре 7 класса формулы встречаются в трёх типах задач: упрощение выражений, разложение многочленов на множители и устный счёт.

Раскрытие скобок и упрощение выражений

Порядок действий такой: найти в выражении конструкции, подходящие под формулы, раскрыть их, затем привести подобные слагаемые. Если перед скобкой стоит минус, результат формулы сначала записывают в скобках, а потом меняют знаки.

Пример 1. Упростим выражение (x + 3)² − (x − 3)(x + 3).

Первое слагаемое — квадрат суммы: x² + 6x + 9. Второе — разность квадратов: x² − 9. Получаем:

(x² + 6x + 9) − (x² − 9) = x² + 6x + 9 − x² + 9 = 6x + 18.

Ответ: 6x + 18.

Пример 2. Упростим выражение (a − 2)² − (a + 2)².

Раскроем оба квадрата: (a² − 4a + 4) − (a² + 4a + 4) = a² − 4a + 4 − a² − 4a − 4 = −8a.

Ответ: −8a.

Второй пример можно решить и иначе: это разность квадратов выражений a − 2 и a + 2. Тогда ((a − 2) − (a + 2))((a − 2) + (a + 2)) = (−4) · 2a = −8a. Ответ тот же, а совпадение двух способов служит дополнительной проверкой.

Разложение на множители

При разложении формулы читают справа налево. Удобный алгоритм:

1. Вынести общий множитель за скобки, если он есть.
2. Посчитать члены оставшегося многочлена: два члена указывают на разность квадратов, сумму или разность кубов, три члена — на квадрат суммы или разности.
3. Представить подходящие члены как квадраты или кубы и проверить, совпадает ли выражение с формулой целиком, включая средний член.

Пример 1. Разложим на множители 3x² − 12.

Общий множитель 3: 3(x² − 4). В скобках разность квадратов: x² − 2² = (x − 2)(x + 2).

Ответ: 3(x − 2)(x + 2).

Пример 2. Разложим на множители 9m² + 12mn + 4n².

Крайние члены — квадраты: 9m² = (3m)², 4n² = (2n)². Проверим средний член: 2 · 3m · 2n = 12mn. Совпадает, значит, это квадрат суммы.

Ответ: (3m + 2n)².

Пример 3. Разложим на множители 2a³ + 16.

Общий множитель 2: 2(a³ + 8). В скобках сумма кубов: a³ + 2³ = (a + 2)(a² − 2a + 4).

Ответ: 2(a + 2)(a² − 2a + 4).

Проверка среднего члена обязательна. Например, в выражении x² + 6x + 4 крайние члены — квадраты x и 2, но удвоенное произведение равно 2 · x · 2 = 4x, а не 6x. Значит, это не квадрат суммы, и формулу применять нельзя.

Быстрые вычисления

Формулы помогают считать устно, если число удобно представить как сумму или разность с круглым числом.

Для произведения двух чисел признак удобного случая — их симметричное расположение относительно круглого числа: 98 и 102 отстоят от 100 на 2, 47 и 53 от 50 на 3.

Как не перепутать формулы и проверить результат

Большинство ошибок связано с тремя вещами: пропуском среднего члена, неверными знаками и смешением похожих по названию формул.

Пропуск удвоенного произведения.

• В чём ошибка: запись (a + b)² = a² + b².
• Почему возникает: по аналогии с умножением, где (ab)² = a²b², кажется, что степень так же «распределяется» по слагаемым.
• Как правильно: возведение в степень не распределяется по сложению. Проверка на числах: (1 + 2)² = 9, а 1² + 2² = 5. Средний член 2ab обязателен.

Квадрат разности и разность квадратов.

• В чём ошибка: выражения (a − b)² и a² − b² считают одинаковыми.
• Почему возникает: названия состоят из одних и тех же слов.
• Как правильно: смотреть на порядок операций в названии. «Квадрат разности» — сначала вычитают, потом возводят в квадрат: (a − b)² = a² − 2ab + b². «Разность квадратов» — сначала возводят в квадрат, потом вычитают: a² − b² = (a − b)(a + b). При a = 5 и b = 3 первое выражение равно 4, второе равно 16.

Неверный средний член.

• В чём ошибка: (3x + 2)² = 9x² + 6x + 4 или (3x + 2)² = 3x² + 12x + 4.
• Почему возникает: забывают удвоить произведение или возводят в квадрат только переменную без коэффициента.
• Как правильно: сначала явно выписать первое и второе выражения целиком, здесь 3x и 2. Тогда (3x)² = 9x², а средний член 2 · 3x · 2 = 12x.

Знаки в сумме и разности кубов.

• В чём ошибка: a³ + b³ = (a + b)(a² + ab + b²) или запись неполного квадрата с коэффициентом 2.
• Почему возникает: формулы суммы и разности кубов похожи и легко переставляются.
• Как правильно: знак в первой скобке совпадает со знаком в исходном выражении, средний член во второй скобке имеет противоположный знак, последний член всегда со знаком плюс. Удвоения во второй скобке нет.

Коэффициенты в кубах.

• В чём ошибка: (a + b)³ = a³ + b³ или потеря тройки в средних членах.
• Почему возникает: та же ложная аналогия, что и с квадратом суммы.
• Как правильно: в кубе суммы и куба разности четыре члена с коэффициентами 1, 3, 3, 1. В кубе разности знаки чередуются.

Проверить результат можно двумя способами. Первый — перемножить скобки обычным способом и сравнить с ответом. Второй — подставить числа в исходное выражение и в результат. Например, для (2y − 5)² = 4y² − 20y + 25 при y = 1 слева получится (−3)² = 9, справа 4 − 20 + 25 = 9. Числа лучше брать не равные 0 и 1 и разные для разных переменных: при y = 0 или a = b часть ошибок не проявляется. Совпадение при одной подстановке не доказывает тождество, но несовпадение точно указывает на ошибку.