Пропорция — это равенство двух отношений, например a : b = c : d, а отношение чисел — их частное, которое показывает, во сколько раз одна величина больше другой или какую часть одна составляет от другой. В пропорции a : b = c : d числа a и d называют крайними членами, b и c — средними; основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних (a · d = b · c), а неизвестный член пропорции — это член, значение которого не задано и обозначается буквой, обычно x. Составление и решение пропорции идут друг за другом: сначала по условию записывают равенство отношений, затем с помощью основного свойства находят неизвестный член.
Отношение чисел и пропорция
Что показывает отношение чисел
Отношение двух чисел — это частное от деления первого числа на второе. Записывают его через двоеточие или дробью: 12 : 4 или 12/4. Второе число не может быть равно нулю, потому что на нуль делить нельзя.
Отношение отвечает на один из двух вопросов. Если оно больше единицы, то показывает, во сколько раз первое число больше второго: 12 : 4 = 3, значит, 12 больше 4 в 3 раза. Если оно меньше единицы, то показывает, какую часть первое число составляет от второго: 4 : 12 = 1/3, то есть 4 — это треть от 12.
Сравнивать через отношение удобно однородные величины, выраженные в одинаковых единицах: метры с метрами, минуты с минутами. Отношение 2 ч к 30 мин нельзя записать как 2 : 30 — сначала часы переводят в минуты: 120 : 30 = 4.
Отношение не меняется, если оба его члена умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля: 12 : 4 = 6 : 2 = 3 : 1. На этом свойстве держится вся дальнейшая работа с пропорциями.
Определение пропорции и её запись
Пропорцией называют равенство двух отношений. Её записывают в виде a : b = c : d или a/b = c/d и читают так: «a относится к b, как c относится к d». В школьном курсе все члены пропорции считаются отличными от нуля.
Например, 6 : 9 = 4 : 6 — верная пропорция, потому что оба отношения равны 2/3. А равенство 2 : 3 = 3 : 4 пропорцией не является: 2/3 ≠ 3/4.
Чтобы выяснить, можно ли из двух отношений составить пропорцию, достаточно найти значение каждого и сравнить. Отношения 3 : 5 и 9 : 15 равны 0,6, поэтому 3 : 5 = 9 : 15 — верная пропорция.
Члены пропорции: крайние, средние и неизвестный член
Как определить крайние и средние члены
Числа, из которых состоит пропорция, называют её членами. В записи a : b = c : d крайние члены стоят по краям строки — это a и d, а средние находятся в середине — это b и c.
В пропорции 6 : 9 = 4 : 6 крайними будут первое число 6 и последнее число 6, средними — 9 и 4.
Если пропорция записана дробями a/b = c/d, крайние члены — числитель первой дроби и знаменатель второй, средние — знаменатель первой и числитель второй. В такой записи крайние и средние члены расположены по диагоналям, отсюда школьное выражение «умножить крест-накрест».
Как обозначают неизвестный член
Если один из членов пропорции не известен, его обозначают буквой — чаще всего x, иногда y или другой латинской буквой. Неизвестным может оказаться любой член, крайний или средний:
- x : 5 = 12 : 20 — неизвестен первый крайний член;
- 7 : 3 = 21 : x — неизвестен второй крайний член;
- 4 : x = 10 : 25 — неизвестен средний член.
Пропорцию с буквой можно рассматривать как уравнение. Решить её — значит найти такое значение x, при котором равенство отношений станет верным.
Основное свойство пропорции
Равенство произведений крайних и средних членов
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: если a : b = c : d, то a · d = b · c.
Проверим на пропорции 6 : 9 = 4 : 6. Произведение крайних: 6 · 6 = 36. Произведение средних: 9 · 4 = 36. Результаты совпадают.
Свойство следует из записи пропорции дробями. Если a/b = c/d, обе части равенства можно умножить на одно и то же число b · d. Слева b сокращается и остаётся a · d, справа сокращается d и остаётся c · b.
Верно и обратное утверждение: если для четырёх отличных от нуля чисел a · d = b · c, то из них можно составить пропорцию a : b = c : d. Поэтому основное свойство используют и для проверки. Например, 3 : 7 = 9 : 21 — пропорция, так как 3 · 21 = 63 и 7 · 9 = 63.
Преобразование пропорции с использованием свойства
Основное свойство показывает, какие перестановки членов сохраняют пропорцию верной. Если a : b = c : d, то верны и пропорции:
- a : c = b : d — переставлены средние члены;
- d : b = c : a — переставлены крайние члены;
- c : d = a : b — отношения поменялись местами;
- b : a = d : c — каждое отношение «перевёрнуто».
Во всех случаях произведение крайних по-прежнему равно произведению средних, поэтому равенство отношений не нарушается. Например, из 6 : 9 = 4 : 6 перестановкой средних получаем 6 : 4 = 9 : 6, и оба отношения равны 1,5.
Обратное свойство позволяет составлять пропорции из равенства произведений. Из 2 · 15 = 5 · 6 получаются, например, 2 : 5 = 6 : 15 и 2 : 6 = 5 : 15. Множители одного произведения должны стать крайними членами, множители другого — средними.
Формула пропорции и нахождение неизвестного члена
Из равенства a · d = b · c получаются две формулы пропорции для поиска неизвестного:
- неизвестный крайний член равен произведению средних членов, делённому на известный крайний: a = b · c / d;
- неизвестный средний член равен произведению крайних членов, делённому на известный средний: b = a · d / c.
Обе формулы — это правило нахождения неизвестного множителя, применённое к основному свойству.
Неизвестный крайний член
Условие. Решите пропорцию x : 8 = 15 : 24.
Решение. x — крайний член, 8 и 15 — средние, 24 — известный крайний. По основному свойству x · 24 = 8 · 15, откуда x = 8 · 15 / 24. Числитель и знаменатель удобно сократить до умножения: 8 и 24 делятся на 8, поэтому x = 15 / 3 = 5.
Ответ: x = 5.
Так же решается пропорция с неизвестным в конце: 7 : 3 = 21 : x. Здесь x = 3 · 21 / 7 = 9.
Неизвестный средний член
Условие. Решите пропорцию 4 : x = 10 : 25.
Решение. x — средний член, известный средний — 10, крайние — 4 и 25. По основному свойству 4 · 25 = x · 10, поэтому x = 4 · 25 / 10 = 100 / 10 = 10.
Ответ: x = 10.
С десятичными дробями действуют так же. В пропорции 0,6 : x = 1,5 : 2 получаем x = 0,6 · 2 / 1,5 = 1,2 / 1,5 = 0,8.
Проверка полученного значения
Найденное число подставляют в исходную пропорцию и убеждаются, что равенство верно. Сделать это можно двумя способами.
Первый — сравнить произведения крайних и средних членов. Для x : 8 = 15 : 24 при x = 5: 5 · 24 = 120 и 8 · 15 = 120.
Второй — вычислить оба отношения. Для 4 : x = 10 : 25 при x = 10: 4 : 10 = 0,4 и 10 : 25 = 0,4.
Если результаты не совпали, ошибка допущена либо при выборе формулы, либо в вычислениях. Проверка занимает несколько секунд и почти всегда показывает, где именно.
Как составить пропорцию с одним неизвестным
Составление пропорции разберём на одной задаче. Условие: 3 кг яблок стоят 270 рублей. Сколько стоят 5 кг таких же яблок?
Определение связанных величин по условию
Сначала выясняют, какие величины меняются и как они связаны. В задаче две величины: масса яблок и стоимость покупки. Цена одного килограмма постоянна, поэтому во сколько раз увеличится масса, во столько же раз увеличится стоимость. Такую связь называют прямой пропорциональностью.
Полезно записать данные краткой схемой, где одинаковые величины стоят друг под другом:
- 3 кг — 270 руб.;
- 5 кг — x руб.
Неизвестная величина — стоимость 5 кг, её обозначают x.
Запись отношений в одинаковом порядке
Пропорцию составляют из двух отношений, записанных в одном и том же порядке. При прямой пропорциональности возможны два равноценных варианта:
- отношение масс равно отношению стоимостей: 3 : 5 = 270 : x;
- отношение массы к стоимости в первом случае равно такому же отношению во втором: 3 : 270 = 5 : x.
Решим первый вариант: x — крайний член, поэтому x = 5 · 270 / 3 = 1350 / 3 = 450. Второй вариант даёт тот же результат.
Ошибка возникает, когда порядок в отношениях нарушен: 3 : 5 = x : 270. Здесь масса в первом отношении идёт от меньшей к большей, а стоимость во втором — от неизвестной к известной. Такая запись даёт x = 3 · 270 / 5 = 162.
Проверка соответствия составленной пропорции условию
Прежде чем решать, стоит убедиться, что пропорция отражает условие. Масса увеличилась с 3 до 5 кг, значит, стоимость тоже должна вырасти. Ответ 450 рублей больше 270, а неверный ответ 162 рубля меньше — значит, пропорция в нём составлена с ошибкой.
Если величины связаны обратной пропорциональностью, то есть при увеличении одной в несколько раз другая во столько же раз уменьшается, одно из отношений нужно «перевернуть». Пример: 6 рабочих выполняют работу за 10 дней. За сколько дней ту же работу выполнят 4 рабочих при той же производительности?
Чем меньше рабочих, тем больше дней, поэтому пропорция записывается так: 6 : 4 = x : 10. Отсюда x = 6 · 10 / 4 = 15. Проверка: 6 рабочих за 10 дней и 4 рабочих за 15 дней дают одинаковый объём работы — 60 человеко-дней.
Как решать пропорции в 6 классе
Алгоритм решения пропорции
В 6 классе пропорцию решают по следующему порядку действий:
- Найти неизвестный член и определить, крайний он или средний.
- По основному свойству записать равенство произведения крайних членов и произведения средних.
- Выразить x: разделить произведение известных членов на число, которое умножается на x.
- По возможности сократить дробь до умножения и выполнить вычисления.
- Проверить ответ подстановкой в исходную пропорцию.
Пример с десятичными дробями: 2,4 : x = 3 : 5. Произведение крайних: 2,4 · 5 = 12. Произведение средних: 3 · x. Получаем уравнение 3x = 12, откуда x = 4. Проверка: 2,4 : 4 = 0,6 и 3 : 5 = 0,6.
Пример с обыкновенными дробями: x : 3/4 = 2/3 : 1/2. По основному свойству x · 1/2 = 3/4 · 2/3. Справа 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2, поэтому x · 1/2 = 1/2 и x = 1. Проверка: 1 : 3/4 = 4/3 и 2/3 : 1/2 = 4/3.
Типичные ошибки при переносе множителей и вычислениях
Перемножают не те члены. В чём ошибка: вместо a · d = b · c записывают a · b = c · d, то есть перемножают члены одного отношения. Почему возникает: в записи дробями кажется естественным умножать «по горизонтали». Как правильно: перемножать крест-накрест — числитель первой дроби на знаменатель второй и знаменатель первой на числитель второй.
Неверно находят неизвестный множитель. В чём ошибка: из уравнения 3x = 12 получают x = 36 или x = 1/4. Почему возникает: число 3 «переносят» в другую часть без понимания, какое действие с ним выполнить. Как правильно: неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель, поэтому x = 12 : 3 = 4.
Сокращают числа, которые сокращать нельзя. В чём ошибка: в пропорции 4 : x = 10 : 25 делят на 2 крайний член 4 и средний член 10 одновременно, считая, что так проще. Почему возникает: путают сокращение дроби с произвольным делением членов пропорции. Как правильно: сначала записать x как дробь, например x = 4 · 25 / 10, и сокращать только множитель числителя со знаменателем: 25 и 10 делятся на 5, получается x = 4 · 5 / 2 = 10.
Теряют запятую в десятичных дробях. В чём ошибка: при вычислении 0,6 · 2 / 1,5 получают 8 вместо 0,8. Почему возникает: деление 1,2 на 1,5 выполняют как 12 : 15, забывая о положении запятой, или ошибаются в переносе запятой у делимого. Как правильно: перед делением перенести запятую в делимом и делителе на одинаковое число знаков: 1,2 : 1,5 = 12 : 15 = 0,8. Проверка подстановкой сразу покажет, что x = 8 не подходит.
Пропорции в задачах
Выбор отношений по известным данным
В текстовой задаче пропорцию составляют из четырёх значений двух величин, одно из которых неизвестно. Важно выбрать именно те данные, которые описывают одну и ту же зависимость, и привести их к одинаковым единицам.
Условие. Автомобиль проехал 120 км за 1,5 ч. Какое расстояние он проедет за 2 ч, двигаясь с той же скоростью?
Решение. Время и расстояние при постоянной скорости прямо пропорциональны. Отношение времён равно отношению расстояний: 1,5 : 2 = 120 : x. Отсюда x = 2 · 120 / 1,5 = 240 / 1,5 = 160.
Ответ: 160 км.
Если бы время во втором случае было дано как 40 минут, его пришлось бы выразить в часах или перевести 1,5 ч в 90 минут. Смешивать единицы внутри одного отношения нельзя.
Пропорции удобны и для задач на проценты. Условие: 30 % числа равны 18. Найдите число. Всё число принимается за 100 %, поэтому 30 : 100 = 18 : x, откуда x = 100 · 18 / 30 = 60.
Проверка ответа по смыслу задачи
После вычислений ответ сверяют с условием, а не только с пропорцией. Верно решённая, но неверно составленная пропорция всё равно даст неправильный ответ.
Проверяют несколько вещей:
- направление изменения: при прямой пропорциональности обе величины растут или уменьшаются вместе, при обратной — меняются в противоположные стороны;
- единицы измерения: ответ должен быть выражен в тех единицах, о которых спрашивают;
- правдоподобие: автомобиль не может за 2 ч проехать меньше, чем за 1,5 ч, а 30 % числа должны быть меньше самого числа;
- допустимость значения: количество людей или предметов должно быть целым, поэтому дробный ответ в такой задаче сигнализирует об ошибке или требует пояснения.
В задаче про автомобиль 160 км больше 120 км, а скорость в обоих случаях одинакова: 120 : 1,5 = 80 км/ч и 160 : 2 = 80 км/ч. Ответ соответствует условию.