На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) $33$.
Решение
Будем записывать числа по возрастанию. Это не меняет набор, но позволяет проверить сразу все попарные произведения: самое маленькое произведение дают два самых маленьких числа, самое большое — два самых больших. Все числа положительны, поэтому при увеличении множителя произведение увеличивается. Значит, достаточно проверить две крайние пары.
а) Пять чисел возможны. Возьмём:
$$7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11.$$
Проверим наименьшее произведение:
$$7\cdot8=56>45.$$
Проверим наибольшее:
$$10\cdot11=110<120.$$
Остальные произведения не меньше первого и не больше второго, поэтому тоже лежат строго между 45 и 120. Ответ на пункт а) — да.
б) Предположим, что подходящих чисел шесть, и запишем их так:
$$a<b<c<d<e<f.$$
Разные натуральные числа отличаются хотя бы на 1. Поэтому $a\le b-1$. Из необходимого условия $ab>45$ следует:
$$b(b-1)>45.$$
Если $b\le7$, то:
$$b(b-1)\le7\cdot6=42\le45,$$
что противоречит требованию. Следовательно:
$$b\ge8.$$
После $b$ стоят четыре разных целых числа. Поэтому:
$$e\ge b+3\ge11,\qquad f\ge b+4\ge12.$$
Перемножим эти положительные нижние границы:
$$ef\ge11\cdot12=132.$$
Но 132 не меньше 120, а по условию каждое произведение должно быть строго меньше 120. Противоречие. Значит, шести чисел быть не может.
в) Теперь чисел четыре:
$$a<b<c<d.$$
Нужно найти наименьшее значение их суммы. Мы не будем угадывать подходящий набор: получим все возможные варианты для двух средних чисел, а затем выберем крайние числа, выгодные для суммы.
Как и раньше, из $ab>45$ и $a\le b-1$ следует $b\ge8$. С другой стороны, $c\ge b+1$ и $d\ge b+2$, поэтому:
$$cd\ge(b+1)(b+2).$$
Чтобы выполнялось $cd<120$, необходимо:
$$(b+1)(b+2)<120.$$
Уже при $b=10$ левая часть равна:
$$(10+1)(10+2)=11\cdot12=132\ge120.$$
При ещё больших $b$ произведение только увеличивается. Поэтому остаются ровно следующие целые значения $b$:
$$8,\ 9.$$
Для каждого выбранного $b$ условие на наименьшее произведение равносильно:
$$a>\frac{45}{b},\qquad a<b.$$
Берём все целые числа в этом промежутке. После выбора $c$ условие на наибольшее произведение равносильно:
$$c<d<\frac{120}{c}.$$
Список $c$ тоже конечен: должно выполняться $c(c+1)<120$, иначе даже наименьшее возможное $d=c+1$ не подойдёт.
Перечислим все оставшиеся варианты. При фиксированных $b,c$ сумма растёт с увеличением $a$ и $d$, поэтому для минимума выбираем наименьшие разрешённые $a,d$, а для максимума — наибольшие.
При $b=8$, $c=9$ имеем $6\le a\le7$ и $10\le d\le13$. Для наименьшей суммы берём $a=6$, $d=10$. Получаем: $$a+b+c+d=6+8+9+10=33.$$
При $b=8$, $c=10$ имеем $6\le a\le7$ и $11\le d\le11$. Для наименьшей суммы берём $a=6$, $d=11$. Получаем: $$a+b+c+d=6+8+10+11=35.$$
При $b=9$, $c=10$ имеем $6\le a\le8$ и $11\le d\le11$. Для наименьшей суммы берём $a=6$, $d=11$. Получаем: $$a+b+c+d=6+9+10+11=36.$$
Мы рассмотрели все возможные пары средних чисел и оптимальные крайние числа для каждой пары. Наименьшее из полученных сумм равно 33. Оно достигается на наборе:
$$6,\ 8,\ 9,\ 10.$$
Для окончательной проверки этого набора:
$$6\cdot8=48>45,$$
$$9\cdot10=90<120.$$
Все четыре числа натуральные и различные. Значит, найденная граница действительно достигается.
Ответ: а) да; б) нет; в) 33.