Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй $—$ 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй $—$ 89,
а в третьей $—$ 15?
б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень?
в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) $198$.
Решение
Будем записывать количества камней тройкой $(a;b;c)$. При ходе одна коробка получает два камня, а две другие теряют по одному. Общее количество сохраняется:
$$
97+104+0=201.
$$
Ещё одно свойство: при получении двух камней число меняется на $+2$, а при отдаче — на $-1$. Эти изменения отличаются на $2-(-1)=3$. Значит, после любого хода все три количества изменяются одинаково по остатку при делении на 3; разность любых двух количеств сохраняет свой остаток.
а) Найдём удобную повторяемую последовательность. Дважды направим камни в третью коробку, затем один раз — в первую:
$$
(a;b;c)\to(a-1;b-1;c+2)\to(a-2;b-2;c+4)\to(a;b-3;c+3).
$$
За три хода первая коробка вернулась к прежнему числу, из второй три камня перешли в третью. Повторим эту последовательность пять раз. После $j$ повторов:
$$
(97;104-3j;3j),\qquad j=0,1,\ldots,5.
$$
Наибольшее уменьшение первой коробки внутри повтора — на 2, в ней остаётся хотя бы 95. Вторая даже к концу имеет $104-15=89$, а перед последним ходом третья уже получила четыре камня. Значит, все доноры могут отдать требуемые камни. При $j=5$:
$$
(97;104-15;15)=(97;89;15).
$$
Ответ: да.
б) Если в третьей коробке 201 камень, в двух остальных по нулю. Их разность равна 0. Но первоначально разность первой и второй:
$$
97-104=-7=3\cdot(-3)+2.
$$
Она имеет остаток 2 при делении на 3, а нуль — остаток 0. Сохранение остатка запрещает такой результат. Ответ: нет.
в) Пусть в первой 1 камень, во второй $b$, в третьей $c$. Сохранение общего количества даёт:
$$
1+b+c=201;\qquad c=200-b.
$$
Остаток разности первой и второй должен остаться равным остатку $-7$:
$$
(1-b)-(-7)=8-b\quad\text{делится на }3.
$$
Значит, $b$ имеет остаток 2 при делении на 3. Наименьшее неотрицательное такое количество — 2. Следовательно:
$$
c\le200-2=198.
$$
Построим результат $(1;2;198)$. Сначала 96 раз направим камни в третью коробку:
$$
(97;104;0)\to(97-96;104-96;2\cdot96)=(1;8;192).
$$
До каждого хода первые две коробки содержат хотя бы по одному камню. Теперь выполним шесть ходов, явно указывая все состояния:
$$
(1;8;192)\to(0;7;194)\to(2;6;193)\to(1;5;195)
$$
$$
\to(0;4;197)\to(2;3;196)\to(1;2;198).
$$
В переходах из состояния с нулём камни направляются именно в пустую первую коробку, а забираются из двух непустых. Каждый ход разрешён. Значит, максимум достигается.
Ответ: а) да; б) нет; в) 198 камней.