В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек
не превышает 21 %.
а) Может ли в этом классе быть 5 девочек?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 25%.
Решение
Пусть первоначально в классе $n$ учащихся и $g$ девочек. Тогда $11\le n\le26$. Доля девочек не больше 21%, то есть:
$$
\frac gn\le\frac{21}{100};\qquad100g\le21n.
$$
После прихода девочки обе величины увеличиваются на 1: новая доля $(g+1)/(n+1)$. Это важно: нельзя увеличить только числитель.
а) Возьмём $n=24,g=5$. Проверка исходного ограничения без округления процентов:
$$
100\cdot5=500\le504=21\cdot24.
$$
Количество 24 находится между 11 и 26. Ответ: да.
Для следующих пунктов оценим новые проценты сверху, используя $100g\le21n$:
$$
\frac{100(g+1)}{n+1}
=\frac{100g+100}{n+1}
\le\frac{21n+100}{n+1}
=\frac{21(n+1)+79}{n+1}
=21+\frac{79}{n+1}.
$$
б) Так как $n+1\ge12$, имеем:
$$
21+\frac{79}{n+1}\le21+\frac{79}{12}
=\frac{252+79}{12}=\frac{331}{12}<30,
$$
где последнее сравнение следует из $331<30\cdot12=360$. Поэтому доля 30% невозможна. Ответ: нет.
в) Обозначим новое количество учащихся $m=n+1$, а целое число процентов $p$. Тогда $12\le m\le27$ и:
$$
p=\frac{100(g+1)}m\le21+\frac{79}{m}.
$$
Если $m\ge20$, правая часть не больше:
$$
21+\frac{79}{20}=21+3{,}95=24{,}95<25.
$$
Поэтому выше 25% можно искать только при $12\le m\le19$. По общей оценке из б) значение меньше $331/12<28$ (так как $331<336$). Единственные целые проценты выше 25 и ниже 28 — 26 и 27.
Если $p=26$, количество девочек должно равняться:
$$
g+1=\frac{26m}{100}=\frac{13m}{50}.
$$
Поскольку 13 и 50 взаимно просты, для целочисленности нужно, чтобы $m$ делилось на 50. Среди 12–19 таких чисел нет. При $p=27$ нужно целое $27m/100$. Числа 27 и 100 взаимно просты, поэтому $m$ должно делиться на 100; снова невозможно.
Значит, максимум не больше 25%. Он достигается: изначально 11 учащихся, из них две девочки. Проверка исходной доли: $100\cdot2=200\le21\cdot11=231$. После прихода девочки их три из двенадцати:
$$
\frac3{12}=\frac14=\frac{25}{100}=25\%.
$$
Ответ: а) да; б) нет; в) 25%.