В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25 % от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20 % от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60 % от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) $10\%$.
Решение
Здесь нельзя путать долю контейнеров по количеству и долю их массы: контейнеры весят неодинаково. Обозначим общее число контейнеров через $4n$. Тогда 25%, то есть четверть, составляют $n$ контейнеров с сахаром. Остальных:
$$4n-n=3n.$$
Пусть $A$ — общая масса сахарных контейнеров, $B$ — остальных. Искомая доля массы равна $A/(A+B)$.
а) Нужно проверить возможность доли 20%. Для ответа «да» достаточно привести один полностью подходящий набор. Возьмём восемь контейнеров. Два из них — с сахаром, каждый по 20 т. Остальные шесть — пять по 20 т и один 60 т.
Проверим количество сахарных контейнеров:
$$\frac28=\frac14=25\%.$$
Их масса:
$$A=2\cdot20=40\text{ т}.$$
Масса остальных:
$$B=5\cdot20+60=100+60=160\text{ т}.$$
Общая масса и нужная доля:
$$A+B=40+160=200\text{ т},$$
$$\frac{A}{A+B}=\frac{40}{200}=\frac15=20\%.$$
Все условия выполнены, ответ — да.
б) Проверим возможность 60% для любого набора. Каждый из $n$ сахарных контейнеров весит не больше 60 т, поэтому:
$$A\le60n.$$
Каждый из $3n$ остальных весит не меньше 20 т, поэтому:
$$B\ge20\cdot3n=60n.$$
Следовательно, $B\ge A$: остальные контейнеры весят не меньше сахарных. Поэтому:
$$A+B\ge2A,$$
$$\frac{A}{A+B}\le\frac{A}{2A}=\frac12=50\%.$$
Мы делим положительные величины: контейнеры есть и их массы положительны. Доля 60% больше 50%, поэтому она невозможна.
в) Теперь найдём наименьшую долю. У сахарных контейнеров есть нижняя граница массы:
$$A\ge20n.$$
У остальных есть верхняя граница:
$$B\le60\cdot3n=180n.$$
Из $A\ge20n$ следует $9A\ge180n$. Совмещаем:
$$B\le180n\le9A,$$
$$A+B\le10A.$$
При уменьшении положительного знаменателя дробь с данным положительным числителем увеличивается. Поэтому:
$$\frac{A}{A+B}\ge\frac{A}{10A}=\frac1{10}=10\%.$$
Чтобы достичь 10%, возьмём один сахарный контейнер 20 т и три остальных по 60 т. По количеству доля сахара $1/4=25\%$, по массе:
$$\frac{20}{20+3\cdot60}=\frac{20}{20+180}=\frac{20}{200}=10\%.$$
Итак, меньшая доля невозможна, а 10% достигается.
Ответ: а) да; б) нет; в) 10%.