Из пары натуральных чисел $(a; b)$ за один ход можно получить пару $(a+2; b-1)$ или $(a-1; b+2)$ при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара $(5; 7)$.
а) Можно ли за 50 таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно 100?
б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна 400?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 100?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) нет; б) $388$; в) $187$.
Решение
Сначала заметим, что каждый разрешённый ход увеличивает сумму двух чисел ровно на 1:
$$
(a+2)+(b-1)=a+b+1;\qquad(a-1)+(b+2)=a+b+1.
$$
Изначальная сумма $5+7=12$. Поэтому после $h$ ходов она равна $12+h$.
а) После 50 ходов сумма равна:
$$
12+50=62.
$$
Оба числа положительны, значит, каждое меньше общей суммы 62. Число 100 появиться не может. Ответ: нет.
б) Для суммы 400 необходимо:
$$
12+h=400;\qquad h=400-12=388.
$$
Но нужно ещё проверить, что столько ходов можно выполнить, не получая нуль или отрицательное число. Удобно чередовать ходы: сначала $(+2;-1)$, затем $(-1;+2)$. Два хода вместе увеличивают обе координаты на 1:
$$
(a;b)\longrightarrow(a+2;b-1)\longrightarrow(a+1;b+1).
$$
После $j$ таких пар имеем $(5+j;7+j)$. Между ними появляется $(7+j;6+j)$; обе координаты положительны при $j\ge0$. За 194 пары, то есть $2\cdot194=388$ ходов, получим:
$$
(5+194;7+194)=(199;201);\qquad199+201=400.
$$
Ответ: 388 ходов.
в) Если оба числа не превосходят 100, сумма не больше 200. Значит:
$$
12+h\le200;\qquad h\le188.
$$
Проверим, возможно ли 188. При таком числе ходов сумма 200, а обе координаты не больше 100, поэтому единственная пара — $(100;100)$. Однако разность координат при каждом ходе меняется на 3 или на $-3$:
$$
(a+2)-(b-1)=(a-b)+3;
$$
$$
(a-1)-(b+2)=(a-b)-3.
$$
Изначальная разность $5-7=-2$. Добавлением и вычитанием троек нельзя получить 0, потому что для этого потребовалось бы, чтобы 2 делилось на 3. Значит, пара $(100;100)$ недостижима и $h\le187$.
Построим 187 ходов. Выполним 93 пары чередующихся ходов из пункта б):
$$
(5+93;7+93)=(98;100),\qquad2\cdot93=186\text{ ходов}.
$$
После каждой полной пары координаты не превосходят $(98;100)$. В промежутках, при $j=0,\ldots,92$, они равны $(7+j;6+j)$ и не больше $(99;98)$. Все положительны. Последним ходом $(+2;-1)$ получим:
$$
(98;100)\longrightarrow(100;99).
$$
Ограничения соблюдены после каждого хода. Ответ: а) нет; б) 388; в) 187 ходов.