Из правильной несократимой дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ $—$ натуральные числа, за один ход получают дробь $\frac{a+b}{2a+b}$.
а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\frac{1}{3}$ получить дробь $\frac{22}{31}$?
б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\frac{7}{12}$?
в) Несократимая дробь $\frac{c}{d}$ больше 0,7. Найдите наименьшую дробь $\frac{c}{d},$ которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac57$.
Решение
Правильная дробь означает $0<a<b$, то есть её значение $t=a/b$ лежит между 0 и 1. Перепишем правило через значение дроби, разделив числитель и знаменатель на $b$:
$$
f(t)=\frac{a/b+1}{2a/b+1}=\frac{t+1}{2t+1}.
$$
Новое значение тоже между 0 и 1: числитель положителен, а знаменатель больше числителя на $a>0$. Сокращения не возникает: если число делит $a+b$ и $2a+b$, оно делит их разность $a$, а затем и $(a+b)-a=b$. При исходных взаимно простых $a,b$ такой общий делитель только 1. Поэтому на каждом шаге сохраняется несократимость.
а) Применим правило три раза:
$$
\frac13\to\frac{1+3}{2\cdot1+3}=\frac45;
$$
$$
\frac45\to\frac{4+5}{2\cdot4+5}=\frac9{13};
$$
$$
\frac9{13}\to\frac{9+13}{2\cdot9+13}=\frac{22}{31}.
$$
Ответ: да, за три хода.
Чтобы решить б) и в), найдём результат сразу двух ходов. Подставим $f(t)$ в то же правило; приводим дроби к общему знаменателю:
$$
f(f(t))=\frac{\frac{t+1}{2t+1}+1}{2\frac{t+1}{2t+1}+1}
=\frac{\frac{t+1+2t+1}{2t+1}}{\frac{2t+2+2t+1}{2t+1}}
=\frac{3t+2}{4t+3}.
$$
Обозначим этот результат $u$. При $0<t<1$ знаменатель $4t+3$ положителен. Сравним $u$ с двумя постоянными дробями:
$$
u-\frac23=\frac{3(3t+2)-2(4t+3)}{3(4t+3)}
=\frac{9t+6-8t-6}{3(4t+3)}=\frac{t}{3(4t+3)}>0;
$$
$$
\frac57-u=\frac{5(4t+3)-7(3t+2)}{7(4t+3)}
=\frac{20t+15-21t-14}{7(4t+3)}=\frac{1-t}{7(4t+3)}>0.
$$
Любой результат двух ходов удовлетворяет строгим границам:
$$
\frac23<u<\frac57.
$$
б) Сравним $7/12$ с нижней границей, перемножив положительные знаменатели:
$$
7\cdot3=21<24=2\cdot12;\qquad\frac7{12}<\frac23.
$$
Значит, за два хода получить $7/12$ нельзя.
в) Важно проверить обратное: каждое рациональное число внутри найденного интервала действительно достигается. Решим равенство относительно $t$:
$$
u=\frac{3t+2}{4t+3};\quad u(4t+3)=3t+2;
$$
$$
4ut+3u=3t+2;\quad t(4u-3)=2-3u;
\quad t=\frac{3u-2}{3-4u}.
$$
При $2/3<u<5/7$ числитель положителен, а знаменатель тоже положителен, поскольку:
$$
3-4u>3-4\cdot\frac57=\frac{21-20}{7}=\frac17>0.
$$
Кроме того, $t<1$, так как при положительном знаменателе:
$$
3u-2<3-4u\quad\Longleftrightarrow\quad7u<5\quad\Longleftrightarrow\quad u<\frac57.
$$
Если $u$ рационально, найденное $t$ тоже рационально. Его можно сократить до правильной несократимой дроби с натуральными числителем и знаменателем, а два хода дадут исходное $u$.
Число $0{,}7=7/10$ больше $2/3$, потому что $7\cdot3=21>20=2\cdot10$. Следовательно, все дроби между 0,7 и $5/7$ достижимы. Сама дробь $5/7$ недостижима: верхняя граница строгая (ей соответствовало бы $t=1$, а исходная дробь должна быть правильной). Поэтому именно она — наименьшая недостижимая дробь больше 0,7.
Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac57$.