ФИПИ D8F724 — Числовые наборы и прогрессии

Доля по количеству не обязана совпадать с долей по массе, потому что контейнеры бывают двух масс. Обозначим общее количество через $4t$. Сахар находится в 75%, то есть в трёх четвертях контейнеров. Поэтому сахарных $3t$, остальных: $$4t-3t=t.$$ Обозначим массу сахарных контейнеров через $A$, остальных — через $B$. Массовая доля сахара равна $A/(A+B)$. а) Приведём конкретный набор для 80%. Возьмём 8 контейнеров. Сахарных шесть: один по 60 т и пять по 20 т. Без сахара два по 20 т. По количеству: $$\frac68=\frac34=75\%.$$ Масса сахарных контейнеров: $$A=60+5\cdot20=60+100=160\text{ т}.$$ Масса остальных и общая масса: $$B=2\cdot20=40\text{ т},\qquad A+B=160+40=200\text{ т}.$$ Доля массы: $$\frac{160}{200}=\frac45=80\%.$$ Получился допустимый пример. Ответ — да. б) Найдём нижнюю границу массовой доли для любого набора. Сахарных контейнеров $3t$, каждый не легче 20 т: $$A\ge3t\cdot20=60t.$$ Остальных $t$, каждый не тяжелее 60 т: $$B\le60t.$$ Таким образом, $B\le A$. Прибавим $A$: $$A+B\le2A.$$ Все массы положительны, поэтому: $$\frac{A}{A+B}\ge\frac{A}{2A}=\frac12=50\%.$$ Доля 40% меньше 50%, значит, она невозможна. в) Для верхней границы используем противоположные оценки. Сахарные весят не больше: $$A\le3t\cdot60=180t.$$ Остальные весят не меньше: $$B\ge20t.$$ Значит, $9B\ge180t\ge A$. Разделив на 9, получаем $B\ge A/9$. Поэтому: $$A+B\ge A+A/9=10A/9.$$ Чем больше положительный знаменатель при неизменном числителе, тем меньше дробь: $$\frac{A}{A+B}\le\frac{A}{10A/9}=\frac9{10}=90\%.$$ Эта граница достигается: возьмём три сахарных контейнера по 60 т и один без сахара 20 т. Проверим доли: $$\frac34=75\%\quad\text{по количеству},$$ $$\frac{3\cdot60}{3\cdot60+20}=\frac{180}{180+20}=\frac{180}{200}=90\%\quad\text{по массе}.$$ Ответ: а) да; б) нет; в) 90%.