Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a; b)$ получается пара $(3a+b; 3b-a)$.
а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5; 5)$?
б) Верно ли, что если пара $(c; d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d; c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?
в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a; b)$ и $(c; d)$ выражением $|a-c|+|b-d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(9; 2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да, из $(1;2)$; б) да; в) $3$.
Решение
Назовём пару достижимой, если она получается из целых $a,b$ по правилу $(3a+b;3b-a)$. Важно проверять целочисленность исходной пары: дробные $a,b$ использовать нельзя.
а) Приравняем результат к $(5;5)$:
$$
3a+b=5;\qquad3b-a=5.
$$
Из первого равенства $b=5-3a$. Подставим это во второе, раскрывая скобки:
$$
3(5-3a)-a=5;\qquad15-9a-a=5;
$$
$$
15-10a=5;\qquad-10a=5-15=-10;\qquad a=1.
$$
$$
b=5-3\cdot1=2.
$$
Проверка: $3\cdot1+2=5$, $3\cdot2-1=5$. Пара $(1;2)$ целая. Ответ: да.
б) Пусть $(c;d)=(3a+b;3b-a)$. Чтобы получить $(-d;c)$, возьмём исходную пару $(-b;a)$. Она тоже целая. Применим операцию:
$$
(3(-b)+a;\ 3a-(-b))=(-3b+a;\ 3a+b)=(-d;c).
$$
Мы указали нужную исходную пару для любых целых $a,b$, значит, утверждение верно.
в) Ищем минимум $D=|c-9|+|d-2|$ среди достижимых $(c;d)$. Сначала ограничим возможные расстояния. У достижимой пары:
$$
c+d=(3a+b)+(3b-a)=2a+4b=2(a+2b).
$$
Эта сумма чётна. Число $|z|$ имеет ту же чётность, что и целое $z$: при $z\ge0$ они равны, при $z<0$ разность $|z|-z=-2z$ чётна. Поэтому $D$ имеет ту же чётность, что:
$$
(c-9)+(d-2)=c+d-11.
$$
Чётное число минус 11 нечётно. Следовательно, $D$ нечётно, и расстояния 0 и 2 исключены.
Проверим расстояние 1. Здесь одна координата отличается от $(9;2)$ на 1, а другая совпадает. Все четыре варианта: $(8;2),(10;2),(9;1),(9;3)$. Из формул операции следует дополнительное необходимое условие:
$$
3c-d=3(3a+b)-(3b-a)=9a+3b-3b+a=10a.
$$
Значит, $3c-d$ должно делиться на 10. Проверим:
$$
\begin{array}{c|c}
(c;d)&3c-d\\\hline
(8;2)&24-2=22\\
(10;2)&30-2=28\\
(9;1)&27-1=26\\
(9;3)&27-3=24
\end{array}
$$
Ни одно из чисел не кратно 10, поэтому расстояние 1 невозможно. Следующее допустимое нечётное расстояние — 3. Оно достигается из $(2;2)$:
$$
(3\cdot2+2;3\cdot2-2)=(8;4);
$$
$$
|8-9|+|4-2|=|-1|+|2|=1+2=3.
$$
Ответ: а) да, из $(1;2)$; б) верно; в) 3.