Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фотографий, а Наташа $—$
$n$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа
за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) $1430$.
Решение
Пусть фотографировали $k$ дней, где $k>1$. В день с номером $j+1$ Маша делает $m+j$ фотографий, Наташа — $n+j$, где $j=0,1,\ldots,k-1$. Их разность в каждый день одна и та же:
$$
(n+j)-(m+j)=n-m.
$$
За $k$ дней разность сумм равна:
$$
k(n-m)=1001.
$$
Значит, число дней $k$ обязано делить 1001 нацело, ведь $n-m$ — целое число.
а) При $k=7$ можно взять $m=1$, $n=144$. Ежедневная разность $144-1=143$, а за семь дней:
$$
7\cdot143=1001.
$$
Числа фотографий натуральные и ежедневно увеличиваются на 1. Ответ: да.
б) При $k=8$ требовалась бы целая разность $1001/8$. Но:
$$
1001=8\cdot125+1.
$$
Деления нацело нет. Ответ: нет.
в) В последний день Маша делает $m+k-1<40$ фотографий. Так как это целое число, оно не больше 39:
$$
m+k-1\le39;\qquad m\le40-k.
$$
Количество фотографий неотрицательно, поэтому $k\le40$. Разложим число 1001 и перечислим его делители:
$$
1001=7\cdot143=7\cdot11\cdot13;
$$
$$
1,\ 7,\ 11,\ 13,\ 77,\ 91,\ 143,\ 1001.
$$
Здесь каждый простой множитель можно взять или не взять: это даёт все восемь произведений, поэтому список полный. С учётом $1<k\le40$ остаются только $7,11,13$.
Для фиксированного $k$ Наташа делает на 1001 фотографию больше Маши. Значит, нужно сделать наибольшей сумму Маши: выбрать наибольшее $m=40-k$. Сумму ежедневных значений найдём попарным сложением начала и конца: в каждой паре сумма $m+(m+k-1)$, поэтому:
$$
S_M=\frac{k(2m+k-1)}2;
\qquad S_N=1001+\frac{k(2m+k-1)}2.
$$
Подставим каждый из трёх возможных вариантов:
$$
\begin{array}{c|c|c}
k&m=40-k&S_N\\\hline
7&33&1001+7(66+6)/2=1001+252=1253\\
11&29&1001+11(58+10)/2=1001+374=1375\\
13&27&1001+13(54+12)/2=1001+429=1430
\end{array}
$$
Проверим достигающий пример: 13 дней, Маша начинает с 27, Наташа — с $27+1001/13=27+77=104$. Последние значения равны $27+12=39$ и $104+12=116$.
$$
S_M=13\cdot\frac{27+39}{2}=13\cdot33=429;
$$
$$
S_N=13\cdot\frac{104+116}{2}=13\cdot110=1430;\qquad1430-429=1001.
$$
Ответ: а) да; б) нет; в) 1430 фотографий.