На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 31.
Решение
Будем записывать числа по возрастанию. Это не меняет набор, но позволяет проверить сразу все попарные произведения: самое маленькое произведение дают два самых маленьких числа, самое большое — два самых больших. Все числа положительны, поэтому при увеличении множителя произведение увеличивается. Значит, достаточно проверить две крайние пары.
а) Пять чисел возможны. Возьмём:
$$5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9.$$
Проверим наименьшее произведение:
$$5\cdot6=30>25.$$
Проверим наибольшее:
$$8\cdot9=72<85.$$
Остальные произведения не меньше первого и не больше второго, поэтому тоже лежат строго между 25 и 85. Ответ на пункт а) — да.
б) Предположим, что подходящих чисел шесть, и запишем их так:
$$a<b<c<d<e<f.$$
Разные натуральные числа отличаются хотя бы на 1. Поэтому $a\le b-1$. Из необходимого условия $ab>25$ следует:
$$b(b-1)>25.$$
Если $b\le5$, то:
$$b(b-1)\le5\cdot4=20\le25,$$
что противоречит требованию. Следовательно:
$$b\ge6.$$
После $b$ стоят четыре разных целых числа. Поэтому:
$$e\ge b+3\ge9,\qquad f\ge b+4\ge10.$$
Перемножим эти положительные нижние границы:
$$ef\ge9\cdot10=90.$$
Но 90 не меньше 85, а по условию каждое произведение должно быть строго меньше 85. Противоречие. Значит, шести чисел быть не может.
в) Теперь чисел четыре:
$$a<b<c<d.$$
Нужно найти наибольшее значение их суммы. Мы не будем угадывать подходящий набор: получим все возможные варианты для двух средних чисел, а затем выберем крайние числа, выгодные для суммы.
Как и раньше, из $ab>25$ и $a\le b-1$ следует $b\ge6$. С другой стороны, $c\ge b+1$ и $d\ge b+2$, поэтому:
$$cd\ge(b+1)(b+2).$$
Чтобы выполнялось $cd<85$, необходимо:
$$(b+1)(b+2)<85.$$
Уже при $b=8$ левая часть равна:
$$(8+1)(8+2)=9\cdot10=90\ge85.$$
При ещё больших $b$ произведение только увеличивается. Поэтому остаются ровно следующие целые значения $b$:
$$6,\ 7.$$
Для каждого выбранного $b$ условие на наименьшее произведение равносильно:
$$a>\frac{25}{b},\qquad a<b.$$
Берём все целые числа в этом промежутке. После выбора $c$ условие на наибольшее произведение равносильно:
$$c<d<\frac{85}{c}.$$
Список $c$ тоже конечен: должно выполняться $c(c+1)<85$, иначе даже наименьшее возможное $d=c+1$ не подойдёт.
Перечислим все оставшиеся варианты. При фиксированных $b,c$ сумма растёт с увеличением $a$ и $d$, поэтому для минимума выбираем наименьшие разрешённые $a,d$, а для максимума — наибольшие.
При $b=6$, $c=7$ имеем $5\le a\le5$ и $8\le d\le12$. Для наибольшей суммы берём $a=5$, $d=12$. Получаем: $$a+b+c+d=5+6+7+12=30.$$
При $b=6$, $c=8$ имеем $5\le a\le5$ и $9\le d\le10$. Для наибольшей суммы берём $a=5$, $d=10$. Получаем: $$a+b+c+d=5+6+8+10=29.$$
При $b=7$, $c=8$ имеем $4\le a\le6$ и $9\le d\le10$. Для наибольшей суммы берём $a=6$, $d=10$. Получаем: $$a+b+c+d=6+7+8+10=31.$$
Мы рассмотрели все возможные пары средних чисел и оптимальные крайние числа для каждой пары. Наибольшее из полученных сумм равно 31. Оно достигается на наборе:
$$6,\ 7,\ 8,\ 10.$$
Для окончательной проверки этого набора:
$$6\cdot7=42>25,$$
$$8\cdot10=80<85.$$
Все четыре числа натуральные и различные. Значит, найденная граница действительно достигается.
Ответ: а) да; б) нет; в) 31.