а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 231.
Решение
а) Укажем два слагаемых и отдельно проверим их суммы цифр:
$$
2043=9+2034;
\qquad9=9;\qquad2+0+3+4=9.
$$
Оба числа натуральные и различны. Ответ: да.
б) Предположим, что $x+y=599$. Оба положительных слагаемых меньше 599. Запишем их тремя цифрами, дополнив слева нулями при необходимости: это лишь способ записи, а не изменение чисел.
В разряде единиц при сложении должна получиться цифра 9. Сумма двух цифр не больше $9+9=18$, поэтому она не может быть 19 и дать перенос в десятки. Значит, сумма единиц ровно 9, переноса нет. В разряде десятков ситуация такая же: входящего переноса нет, для цифры 9 сумма должна быть 9 или 19; 19 невозможно, значит, сумма десятков ровно 9 без переноса. Тогда сумма сотен ровно 5.
Таким образом, сумма сумм цифр обоих слагаемых равна:
$$
9+9+5=23.
$$
Если бы суммы цифр были одинаковы и равны $s$, их сумма была бы $2s$, чётным числом. Число 23 нечётно. Противоречие. Ответ: нет.
в) Пусть общая сумма цифр семи слагаемых равна $s$. Чтобы при данном $s$ общая сумма была минимальной, нужно взять семь наименьших различных натуральных чисел с этой суммой цифр: замена любого из них большим только увеличит сумму.
Разберём сначала $1\le s\le9$. Семь наименьших ищем по возрастанию числа разрядов: сначала однозначные, затем двузначные (с увеличением десятков), затем трёхзначные и т.д. Например, при $s=5$ двузначные имеют вид $10a+(5-a)$ при $1\le a\le5$, то есть $14,23,32,41,50$; вместе с 5 их шесть, поэтому седьмое — наименьшее трёхзначное 104. Полный список для всех девяти $s$:
$$
\begin{array}{c|l|r}
s&\text{семь наименьших чисел}&\text{сумма}\\\hline
1&1,10,100,1000,10000,100000,1000000&1111111\\
2&2,11,20,101,110,200,1001&33+411+1001=1445\\
3&3,12,21,30,102,111,120&66+333=399\\
4&4,13,22,31,40,103,112&110+215=325\\
5&5,14,23,32,41,50,104&165+104=269\\
6&6,15,24,33,42,51,60&7(6+60)/2=231\\
7&7,16,25,34,43,52,61&7(7+61)/2=238\\
8&8,17,26,35,44,53,62&7(8+62)/2=245\\
9&9,18,27,36,45,54,63&7(9+63)/2=252
\end{array}
$$
Объясним полноту первых строк с трёхзначными числами: при $s=2$ после $2,11,20$ идут $101,110,200$, а следующее наименьшее четырёхзначное — 1001. При $s=3$ после четырёх одно- и двузначных идут $102,111,120$; при $s=4$ после пяти таких чисел идут $103,112$. При $s=1$ ненулевая цифра может быть только одной единицей, поэтому числа — степени 10. Остальные строки уже целиком набираются однозначным и шестью двузначными числами.
Наименьшая сумма в таблице 231. Осталось исключить все $s\ge10$ — их бесконечно много, поэтому один лишь предыдущий перебор недостаточен.
Любое число с суммой цифр хотя бы 10 не однозначное. Перечислим семь наименьших таких чисел, даже не требуя одинаковой суммы цифр. При десятках 1 подходят единицы от 9 — число 19. При десятках 2 подходят 8 и 9 — числа 28,29. При десятках 3 подходят 7,8,9 — числа 37,38,39. Следующее — 46. Значит, семь различных чисел с суммой цифр хотя бы 10 имеют общую сумму не меньше:
$$
19+28+29+37+38+39+46
=47+66+77+46=236>231.
$$
Поэтому ни одно $s\ge10$ не улучшит результат. При $s=6$ набор $6,15,24,33,42,51,60$ даёт сумму 231, все числа различны и у каждого сумма цифр 6.
Ответ: а) да; б) нет; в) 231.