Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна $S.$
а) Может ли $S$ быть равной $16\frac{5}{6}$?
б) Может ли $S$ быть равной $569\frac{29}{126}$?
в) Найдите наибольшее целое значение $S,$ если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 2004.
Решение
Четыре последовательных числа не могут пересекать границу десятка: тогда среди них было бы число, оканчивающееся нулём. Поэтому запишем их как $10k+d,10k+d+1,10k+d+2,10k+d+3$, где $d=1,2,\ldots,6$. Здесь $k$ — общий номер десятка; он целый неотрицательный. Последние цифры равны $d,d+1,d+2,d+3$.
Для любого из четырёх чисел с последней цифрой $j$:
$$
\frac{10k+j}{j}=\frac{10k}{j}+\frac jj=\frac{10k}{j}+1.
$$
Следовательно, складывая результаты деления, имеем:
$$
S=4+10kH_d,\qquad H_d=\frac1d+\frac1{d+1}+\frac1{d+2}+\frac1{d+3}.
$$
Посчитаем все шесть коэффициентов с общими знаменателями. Это полный список возможных последних цифр:
$$
\begin{array}{c|c|c}
d&H_d&10H_d\\\hline
1&(12+6+4+3)/12=25/12&125/6\\
2&(30+20+15+12)/60=77/60&77/6\\
3&(20+15+12+10)/60=57/60=19/20&19/2\\
4&(105+84+70+60)/420=319/420&319/42\\
5&(168+140+120+105)/840=533/840&533/84\\
6&(84+72+63+56)/504=275/504&1375/252
\end{array}
$$
а) Возьмём числа $12,13,14,15$. Делим каждое на его последнюю цифру и складываем:
$$
S=\frac{12}{2}+\frac{13}{3}+\frac{14}{4}+\frac{15}{5}
=6+\frac{13}{3}+\frac72+3
=\frac{36+26+21+18}{6}=\frac{101}{6}=16\frac56.
$$
Ответ: да.
б) Для заданного значения сначала вычтем 4:
$$
S-4=565\frac{29}{126}=\frac{565\cdot126+29}{126}=\frac{71190+29}{126}=\frac{71219}{126}.
$$
Из $S-4=10kH_d$ следует $k=(S-4)/(10H_d)$. Подставим все шесть коэффициентов. В таблице для каждой дроби показано деление числителя на знаменатель с остатком:
$$
\begin{array}{c|c|c}
d&k&\text{проверка целочисленности}\\\hline
1&\frac{71219}{126}\cdot\frac6{125}=\frac{71219}{2625}&71219=2625\cdot27+344\\
2&\frac{71219}{126}\cdot\frac6{77}=\frac{71219}{1617}&71219=1617\cdot44+71\\
3&\frac{71219}{126}\cdot\frac2{19}=\frac{71219}{1197}&71219=1197\cdot59+596\\
4&\frac{71219}{126}\cdot\frac{42}{319}=\frac{71219}{957}&71219=957\cdot74+401\\
5&\frac{71219}{126}\cdot\frac{84}{533}=\frac{142438}{1599}&142438=1599\cdot89+127\\
6&\frac{71219}{126}\cdot\frac{252}{1375}=\frac{142438}{1375}&142438=1375\cdot103+813
\end{array}
$$
Каждый остаток ненулевой. Ни в одном случае $k$ не целое. Других значений $d$ нет. Ответ: нет.
в) Все четыре исходных числа трёхзначные, поэтому $10\le k\le99$. Требуется целое $S$, то есть целое произведение $k\cdot10H_d$. Дроби в последнем столбце первой таблицы несократимы: у 125 и 6, 77 и 6, 19 и 2 общих простых множителей нет; $319=11\cdot29$, $42=2\cdot3\cdot7$; $533=13\cdot41$, $84=2^2\cdot3\cdot7$; $1375=5^3\cdot11$, $252=2^2\cdot3^2\cdot7$. Поэтому недостающие множители знаменателя должен полностью дать множитель $k$.
Иначе говоря, $k$ должно делиться на соответствующий знаменатель. В каждом случае $S$ растёт с $k$, поэтому берём наибольшее допустимое кратное не больше 99:
$$
\begin{array}{c|c|c|c}
d&\text{кратность }k&k_{\max}&S_{\max}\\\hline
1&6&96&4+125\cdot96/6=4+125\cdot16=2004\\
2&6&96&4+77\cdot96/6=4+77\cdot16=1236\\
3&2&98&4+19\cdot98/2=4+19\cdot49=935\\
4&42&84&4+319\cdot84/42=4+638=642\\
5&84&84&4+533\cdot84/84=537\\
6&252&\text{нет}&\text{нет целой суммы}
\end{array}
$$
Наибольшее значение 2004. Оно получается при $k=96,d=1$, то есть для чисел $961,962,963,964$. Все они трёхзначные, их последние цифры ненулевые, а вычисленный коэффициент даёт $S=4+125\cdot16=2004$.
Ответ: а) да; б) нет; в) 2004.