На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 44.
Решение
Обозначим исходное число $10a+b$. Первая операция заменяет цифры на $a+2,b-5$, поэтому новое число:
$$
10(a+2)+(b-5)=10a+20+b-5=(10a+b)+15.
$$
Вторая операция даёт:
$$
10(a-2)+(b+2)=10a-20+b+2=(10a+b)-18.
$$
Пусть первую операцию применили к $p$ числам, вторую — к $q$. Разность новой и старой общих сумм равна $15p-18q$.
а) Условие означало бы $15p-18q=128$. Левая часть делится на 3:
$$
15p-18q=3(5p-6q).
$$
Правая не делится: $128=3\cdot42+2$. Равенство невозможно. Ответ: нет.
б) При равенстве сумм:
$$
15p-18q=0;\quad15p=18q;\quad5p=6q.
$$
Числа 5 и 6 взаимно просты. Поэтому $p$ кратно 6 (чтобы $5p$ делилось на 6), а $q$ кратно 5. Запишем $p=6t$; после подстановки $5\cdot6t=6q$ получаем $q=5t$. Всего чисел:
$$
p+q=6t+5t=11t.
$$
Количество 25 не подходит, потому что $25=11\cdot2+3$. Ответ: нет.
в) Чтобы найти максимум количества, нужно оценить снизу сумму для данного $t$. Для первой операции цифра единиц должна быть хотя бы 5, иначе после уменьшения на 5 стала бы отрицательной. Наименьшее двузначное число с таким свойством — 15; оно переходит в 30. Для второй операции цифра десятков должна быть хотя бы 3, чтобы после уменьшения на 2 число осталось двузначным. Наименьшее такое число — 30; оно переходит в 12.
Значит, исходная сумма не меньше:
$$
15p+30q=15\cdot6t+30\cdot5t=90t+150t=240t.
$$
Она должна быть строго меньше 1198. При $t\ge5$ уже $240t\ge240\cdot5=1200>1198$, поэтому $t\le4$. Следовательно:
$$
p+q=11t\le11\cdot4=44.
$$
Достигающий пример: 24 числа 15 и 20 чисел 30. Одинаковые числа разрешены. К первым применим первую операцию, ко вторым вторую. Проверим:
$$
T=24\cdot15+20\cdot30=360+600=960<1198;
$$
$$
T'=24\cdot30+20\cdot12=720+240=960;
\qquad24+20=44.
$$
Все результаты двузначные. Ответ: а) нет; б) нет; в) 44 числа.