Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое $—$ трёхзначное и оба кратны 45.
а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?
б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 10035.
Решение
Число 45 равно $5\cdot9$, причём 5 и 9 не имеют общих простых множителей. Поэтому кратность 45 равносильна одновременной кратности 5 и 9. Для кратности 5 последняя цифра должна быть 0 или 5. Поскольку каждую цифру используем один раз, одно число оканчивается на 0, другое — на 5.
Кратность 9 проверяется суммой цифр. Это следует из того, что $10,100,1000,\ldots$ дают остаток 1 при делении на 9: число и сумма его цифр отличаются на кратное 9. Общая сумма всех данных цифр:
$$
0+1+2+3+5+7+9=27.
$$
У каждого из двух чисел сумма цифр положительна и кратна 9, а вместе они дают 27. Значит, одна сумма равна 9, другая — 18.
а) Подходит пара $1935$ и $270$. Проверим не только сумму, но и делимость:
$$
1935=45\cdot43;\qquad270=45\cdot6;
\qquad1935+270=2205.
$$
Цифры $1,9,3,5,2,7,0$ — ровно заданный набор, каждую использовали один раз. Ответ: да.
б) Сумма двух кратных 45 должна сама быть кратной 45, в частности — 9. Но сумма цифр числа 3435:
$$
3+4+3+5=15=9+6,
$$
не делится на 9. Поэтому 3435 не подходит. Ответ: нет.
в) Для максимума разберём все допустимые наборы цифр трёхзначного числа. Это короткий полный перебор, потому что его последняя цифра уже известна: 0 или 5.
Если последняя цифра 0, две другие берутся из $1,2,3,7,9$ и должны иметь сумму 9 или 18. При сумме 9 единственная пара — 2 и 7: для 1 недостаёт отсутствующей 8, для 3 — отсутствующей 6, для 9 — уже занятого 0. Сумма 18 требовала бы двух девяток, но повторять цифры нельзя. Значит, набор только $\{0,2,7\}$. Оставшиеся цифры четырёхзначного числа — $1,3,5,9$, и оно оканчивается на 5.
Чтобы для этих наборов получить наибольшие числа, более крупные цифры ставим в более старшие разряды: например, перестановка соседних цифр $x<y$ из порядка $xy$ в $yx$ увеличивает соответствующую часть на $10y+x-(10x+y)=9(y-x)>0$. Поэтому максимум для первого набора:
$$
720+9315=10035.
$$
Если трёхзначное оканчивается на 5, две остальные цифры из $1,2,3,7,9$ должны давать сумму $9-5=4$ или $18-5=13$. Для суммы 4 единственная пара — 1 и 3 (две двойки использовать нельзя). Для 13 подходящей пары нет: к 1 нужна 12, к 2 — 11, к 3 — 10, к 7 — 6, к 9 — 4, и ни одной такой цифры в наборе нет. Значит, трёхзначное использует $\{1,3,5\}$, оставшиеся цифры $\{0,2,7,9\}$ идут в четырёхзначное с концом 0. Максимум:
$$
315+9720=10035.
$$
Это все возможные разбиения, и в обоих наибольшая сумма 10035. В частности, $9315=45\cdot207$, $720=45\cdot16$; все цифры использованы верно.
Ответ: а) да; б) нет; в) 10035.