Ваня написал на доске трёхзначное число $A.$ Петя переписал это число $A,$ вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B.$ Коля тоже переписал это число $A,$ вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C.$
а) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C,$ если $A>150$?
б) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C,$ если $540\le A<600$?
в) Найдите наибольшее число $A,$ для которого может быть верным равенство $A=B\cdot C.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) $910$.
Решение
После вычёркивания одной цифры должны остаться именно две цифры с ненулевой первой. Петя и Коля могут вычеркнуть одинаковую цифру, поэтому произведение двух одинаковых результатов тоже нужно учитывать.
а) Возьмём $A=160$. Вычеркнув последнюю цифру 0, получим $B=16$. Вычеркнув среднюю цифру 6, получим $C=10$:
$$
B\cdot C=16\cdot10=160=A>150.
$$
Ответ: да.
б) При $540\le A<600$ число начинается с 5, а цифра десятков не меньше 4. Если вычеркнуть 5, двузначный результат не меньше 40; если вычеркнуть другую цифру, результат начинается с 5 и не меньше 50. В любом случае оба двузначных числа не меньше 40:
$$
B\cdot C\ge40\cdot40=1600>600>A.
$$
Равенство невозможно. Ответ: нет.
в) Сначала предъявим большое подходящее число:
$$
910=91\cdot10.
$$
Число 91 получаем удалением последнего 0, число 10 — удалением первой 9. Докажем, что больше 910 подходящих чисел нет.
Пусть $A>910$. Тогда $A=900+R$, где $R$ — число из последних двух цифр, $11\le R\le99$. После удаления первой цифры получаем $R$. После удаления одной из двух других цифр получаем число от 90 до 99. Возможны три типа выбора $B,C$.
Первый тип: оба числа не меньше 90. Тогда:
$$
B\cdot C\ge90\cdot90=8100>999\ge A.
$$
Второй тип: оба результата равны $R$. Тогда нужно:
$$
R^2=900+R;\qquad R^2-R=900.
$$
У соседних целых $R$ выражение $R^2-R$ строго увеличивается, поскольку:
$$
[(R+1)^2-(R+1)]-[R^2-R]=2R>0.
$$
Но 900 находится между значениями при 30 и 31:
$$
30^2-30=900-30=870<900;
$$
$$
31^2-31=961-31=930>900.
$$
Следовательно, целого решения нет: при $R\le30$ значение не больше 870, при $R\ge31$ — не меньше 930.
Третий тип: один результат $R$, другой — некоторое $Q\ge90$. Из $RQ=A\le999$ получаем:
$$
90R\le999;\qquad R\le11,
$$
так как $90\cdot11=990$, а $90\cdot12=1080>999$. Вместе с $R\ge11$ это оставляет только $R=11$, то есть $A=911$. После вычёркивания его цифр получаются лишь 11 и 91, но:
$$
11\cdot91=1001\ne911.
$$
Все возможные типы выбора проверены. Выше 910 решений нет, а 910 подходит. Ответ: а) да; б) нет; в) 910.