На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) нет; б) нет; в) $11$.
Решение
Пусть $r$ чисел оканчиваются на 6, тогда $30-r$ — на 2. При сложении последние цифры дают ту же последнюю цифру общей суммы, что и сами числа. Их сумма:
$$
6r+2(30-r)=6r+60-2r=60+4r.
$$
Общая сумма 2454 оканчивается на 4. Значит, $4r$ тоже должно оканчиваться на 4. Это равносильно условию, что $r$ при делении на 5 даёт остаток 1. Например, проверив $r=0,1,2,3,4$, получаем последние цифры $0,4,8,2,6$; далее они повторяются через 5. С учётом $0\le r\le30$ остаются только:
$$
r=1,6,11,16,21,26.
$$
а) Поровну означало бы $r=15$. Этого числа в полном списке нет. Ответ: нет.
б) При $r=1$ нужно 29 различных чисел, оканчивающихся на 2. Их наименьший набор $2,12,\ldots,282$. При сложении начала и конца каждой пары получается $2+282=284$; поэтому сумма равна числу слагаемых, умноженному на полусумму крайних:
$$
2+12+\ldots+282=\frac{29(2+282)}2=29\cdot142=4118.
$$
Добавим наименьшее число на 6:
$$
4118+6=4124>2454.
$$
Даже минимальная сумма слишком велика. Ответ: нет.
в) После исключения $r=1$ следующий кандидат — $r=6$. Тогда нужны 24 различных числа на 2 и шесть на 6. Их минимальная сумма:
$$
\frac{24(2+232)}2+\frac{6(6+56)}2
=12\cdot234+3\cdot62=2808+186=2994>2454.
$$
Значит, кандидат $r=6$ тоже не подходит; следующее возможное количество $r=11$. Проверим его конструкцией. Возьмём 19 чисел на 2: $2,12,\ldots,182$, и 11 чисел на 6: сначала $6,16,\ldots,106$.
$$
\frac{19(2+182)}2=19\cdot92=1748;
$$
$$
\frac{11(6+106)}2=11\cdot56=616;
\qquad1748+616=2364.
$$
Не хватает $2454-2364=90$. Заменим 106 на 196: новая цифра единиц по-прежнему 6, число не совпадает с другими, а прибавка равна $196-106=90$. Получаем:
$$
2364+90=2454.
$$
Все 30 чисел различны. Ответ: а) нет; б) нет; в) 11 чисел, оканчивающихся на 6.