На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 4.
Решение
Число, оканчивающееся на 7, нечётное, поэтому две разрешённые группы не пересекаются. Пусть таких чисел $m$, тогда чётных $30-m$.
Сначала найдём минимальную сумму при заданном $m$. Наименьшие различные чётные: $2,4,\ldots,2(30-m)$; их сумма равна:
$$
2\frac{(30-m)(31-m)}2=(30-m)(31-m).
$$
Здесь использована сумма $1+\ldots+s=s(s+1)/2$, которая получается сложением прямого и обратного порядка: $s$ пар по $s+1$.
Наименьшие различные числа на 7: $7,17,\ldots,10m-3$. Сумма равна количеству слагаемых, умноженному на полусумму крайних:
$$
\frac{m(7+10m-3)}2=\frac{m(10m+4)}2=5m^2+2m.
$$
При $m=0$ эта сумма равна нулю. Общая нижняя граница:
$$
L(m)=(30-m)(31-m)+5m^2+2m
=930-61m+m^2+5m^2+2m=930-59m+6m^2.
$$
Кроме того, сумма чётных чётна, а сумма $m$ нечётных имеет чётность $m$. Поскольку 810 чётно, число $m$ должно быть чётным.
а) Ровно 24 чётных означает $m=6$. Минимальный набор чётных $2,4,\ldots,48$ даёт $24(2+48)/2=24\cdot25=600$. Числа $7,17,27,37,47,57$ дают $6(7+57)/2=3\cdot64=192$. Вместе $600+192=792$.
Заменим чётное 48 на 66. Прибавка $66-48=18$, поэтому сумма станет $792+18=810$. Новое число не повторяет ни одно старое и остаётся чётным. Ответ: да.
б) Для $m=2$ нижняя граница:
$$
L(2)=930-59\cdot2+6\cdot2^2=930-118+24=836>810.
$$
Ответ: нет.
в) Чтобы найти минимум, проверим все меньшие, чем 4, значения:
$$
L(0)=930>810;
$$
$$
L(1)=930-59+6=877>810;
$$
$$
L(2)=836>810.
$$
При $m=3$ сумма нечётна, а 810 чётно. Значит, нужно хотя бы четыре числа на 7. Для $m=4$ берём 26 чётных $2,4,\ldots,52$ и четыре числа $7,17,27,37$:
$$
\frac{26(2+52)}2+(7+17+27+37)=26\cdot27+88=702+88=790.
$$
Заменим 52 на 72, прибавив $72-52=20$. Получаем $790+20=810$, все 30 чисел различны. Минимум достигнут.
Ответ: а) да; б) нет; в) 4.