С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да, например $211$; б) нет; в) $\dfrac{283}{190}$, достигается при $190$.
Решение
Запишем исходное трёхзначное число через его цифры: $N=100a+10b+c$, где $a$ — сотни ($1\le a\le9$), $b$ — десятки, $c$ — единицы ($0\le b,c\le9$). Результат обозначим $M$. По условию добавляем $10b$, затем 3:
$$
M=(100a+10b+c)+10b+3=100a+20b+c+3.
$$
а) Если взять $N=211$, цифра десятков равна 1. Тогда:
$$
M=211+10\cdot1+3=211+10+3=224.
$$
Ответ: да.
б) Предположим, что $M=314$. Вычтем 3:
$$
100a+20b+c=314-3=311.
$$
Числа $100a=20\cdot5a$ и $20b$ делятся на 20. Значит, после их вычитания цифра $c$ должна иметь тот же остаток при делении на 20, что и 311:
$$
311=20\cdot15+11.
$$
Однако цифра $c$ — одно из чисел от 0 до 9; ни одно не даёт остаток 11. Получили противоречие. Ответ: нет.
в) Найдём отношение результата к исходному числу, выделив целую единицу:
$$
\frac MN=\frac{N+10b+3}{N}=1+\frac{10b+3}{100a+10b+c}.
$$
Для выбранной цифры $b$ числитель дроби фиксирован и положителен. Чтобы дробь стала как можно больше, знаменатель должен стать как можно меньше. Наименьшие допустимые цифры — $a=1$ и $c=0$. Поэтому достаточно сравнить числа с такими сотнями и единицами:
$$
\frac MN\le1+\frac{10b+3}{100+10b}.
$$
Преобразуем числитель так, чтобы увидеть влияние $b$:
$$
10b+3=(100+10b)-97;
$$
$$
1+\frac{10b+3}{100+10b}
=1+\frac{100+10b-97}{100+10b}
=2-\frac{97}{100+10b}.
$$
При увеличении $b$ положительный знаменатель растёт. Дробь $97/(100+10b)$ уменьшается, значит, выражение $2-97/(100+10b)$ увеличивается. Наибольшая цифра десятков — 9. Берём $a=1,b=9,c=0$:
$$
N=190;\qquad M=190+90+3=283;\qquad\frac MN=\frac{283}{190}.
$$
Выбранное число трёхзначное, все его цифры допустимы. Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{283}{190}$ при исходном числе 190.