На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр).
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 289?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) $9$.
Решение
Разрешены только цифры 4 и 9, а сами числа на доске не повторяются. Для вопросов о возможности мы должны либо предъявить набор, либо исключить все наборы, а для минимума — сделать и то и другое.
а) Подойдёт набор из трёх различных чисел $4,9,94$:
$$
4+9+94=13+94=107.
$$
Все цифры разрешены. Ответ: да.
б) Если сумма равна 289, каждое положительное слагаемое меньше 289. Наименьшее трёхзначное разрешённое число — 444, оно уже больше 289. Значит, выбирать можно только из полного списка:
$$
4,9,44,49,94,99.
$$
Сложим весь список:
$$
4+9+44+49+94+99=13+93+193=299.
$$
Чтобы оставить сумму 289, нужно убрать числа с суммой $299-289=10$. Числа от 44 и выше убирать нельзя: каждое уже больше 10. А из 4 и 9 можно составить только суммы $0,4,9,4+9=13$. Числа 10 среди них нет. Ответ: нет.
в) Используем последние цифры. Обе цифры, 4 и 9, дают остаток 4 при делении на 5. Поэтому сумма $r$ разрешённых чисел имеет тот же остаток, что и $4r$. У нужной суммы:
$$
3986=5\cdot797+1.
$$
Значит, $4r$ должен давать остаток 1 при делении на 5. Проверим все пять возможных остатков самого $r$:
$$
\begin{array}{c|ccccc}
\text{остаток }r&0&1&2&3&4\\\hline
\text{остаток }4r&0&4&3&2&1
\end{array}
$$
Таким образом, возможные положительные количества — $4,9,14,\ldots$. Достаточно исключить четыре и построить набор из девяти.
Четырёхзначные числа не подходят даже как одно слагаемое: наименьшее такое число равно $4444>3986$. Четыре наибольших разрешённых числа меньше 3986 — это $999,994,949,944$. Любые четыре различных допустимых числа имеют сумму не больше их суммы:
$$
999+994+949+944=1993+1893=3886<3986.
$$
Четырёх чисел недостаточно. Для девяти подходит набор:
$$
4,9,44,49,444,494,949,994,999.
$$
Проверим сумму, группируя слагаемые:
$$
(4+9+44+49)+(444+494)+(949+994+999)
=106+938+2942=1044+2942=3986.
$$
Повторений нет. Ответ: а) да; б) нет; в) 9 чисел.