С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 51.
Решение
Запишем трёхзначное число как $100a+10b+c$, где $a$ — цифра сотен от 1 до 9, $b,c$ — цифры от 0 до 9. Сумма цифр равна $a+b+c$. Выполним обе операции с обозначениями — так станет видно, какие цифры влияют на результат:
$$
\frac{(100a+10b+c)-(a+b+c)}3
=\frac{100a-a+10b-b+c-c}{3}
=\frac{99a+9b}{3}=33a+3b=3(11a+b).
$$
Цифра единиц $c$ сократилась. Результат зависит только от сотен и десятков и обязательно делится на 3.
а) Чтобы получить 300, нужно:
$$
3(11a+b)=300;\qquad11a+b=100.
$$
При $a=9$ имеем $b=100-11\cdot9=100-99=1$. Возьмём $c=0$, то есть исходное число 910. Проверим именно исходную операцию:
$$
9+1+0=10;\qquad\frac{910-10}{3}=\frac{900}{3}=300.
$$
Ответ: да.
б) Число 151 не делится на 3:
$$
151=3\cdot50+1.
$$
А каждый возможный результат имеет множитель 3. Поэтому ответ: нет.
в) Для исходных чисел от 100 до 599 сотни $a$ принимают все значения от 1 до 5, а десятки $b$ — от 0 до 9. Для каждого фиксированного $a$ получаем десять различных значений $11a+b$. Выпишем все блоки:
$$
\begin{array}{c|c|c}
a&11a+b&3(11a+b)\\\hline
1&11,12,\ldots,20&33,36,\ldots,60\\
2&22,23,\ldots,31&66,69,\ldots,93\\
3&33,34,\ldots,42&99,102,\ldots,126\\
4&44,45,\ldots,53&132,135,\ldots,159\\
5&55,56,\ldots,64&165,168,\ldots,192
\end{array}
$$
Блоки не пересекаются: конец каждого меньше начала следующего. Умножение на 3 также не объединяет разные значения. Каждое значение достигается, например, при $c=0$.
Остаётся отдельное число 600. Оно даёт $a=6,b=0$ и результат:
$$
3(11\cdot6+0)=3\cdot66=198,
$$
которого в прежних блоках нет. Итого:
$$
5\cdot10+1=51.
$$
Ответ: а) да; б) нет; в) 51 различный результат.