На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы $—$ цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 10.
Решение
Приписать справа цифру — значит умножить исходное число на 10 и прибавить цифру. Например, $n\to10n+1$ в первой группе и $n\to10n+8$ во второй.
Обозначим суммы чисел в группах $A,B,C$, а количества $p,q,r$. Все количества положительны, потому что каждая группа непустая. Исходная и новая общие суммы:
$$
T=A+B+C;\qquad T'=10A+p+10B+8q+C.
$$
а) Возьмём первую группу $\{1\}$, вторую $\{2\}$, третью $\{9\}$. Все числа различны:
$$
T=1+2+9=12;\qquad T'=11+28+9=48=4\cdot12.
$$
Ответ: да.
б) Для любого натурального $n\ge1$:
$$
10n+8\le10n+8n=18n;
\qquad10n+1\le10n+8n=18n.
$$
В третьей группе число остаётся $n<18n$, и хотя бы одно такое число есть. Значит, при сложении по всем числам новая сумма строго меньше $18T$. Ответ: нет.
в) По условию $T'=11T$. Раскроем обе суммы:
$$
10A+p+10B+8q+C=11A+11B+11C;
$$
$$
p+8q=A+B+10C=T+9C.
$$
Пусть всего $k=p+q+r$ различных натуральных чисел. Их сумма не меньше суммы $1+2+\ldots+k=k(k+1)/2$ (последняя формула получается сложением прямого и обратного порядка). Поскольку $C\ge1$, правая часть не меньше:
$$
T+9C\ge\frac{k(k+1)}2+9.
$$
Для левой части используем $p\ge1,r\ge1$:
$$
p+8q=8(p+q)-7p=8(k-r)-7p
\le8(k-1)-7=8k-15.
$$
Необходимое условие:
$$
\frac{k(k+1)}2+9\le8k-15;
$$
$$
k^2+k+18\le16k-30;\qquad k^2-15k+48\le0.
$$
Если $k\ge11$, левая часть положительна:
$$
k^2-15k+48=(k-11)(k-4)+4\ge4>0.
$$
Значит, $k\le10$. Для десяти подойдёт набор $1,2,3,4,5,6,7,8,9,11$. Третья группа $\{1\}$, первая $\{2\}$, вторая — восемь остальных чисел. Их сумма во второй группе:
$$
B=(3+4+5+6+7+8+9)+11=42+11=53.
$$
Проверим общие суммы:
$$
T=1+2+53=56;
$$
$$
T'=1+21+10\cdot53+8\cdot8=1+21+530+64=616=11\cdot56.
$$
Все группы непустые, числа различны. Ответ: а) да; б) нет; в) 10 чисел.